Γεωμετρία Riemann

Περίληψη: Ο βασικός σκοπός αυτού του μεταπτυχιακού επιπέδου μαθήματος είναι η εισαγωγή στις θεμελιώδεις έννοιες της Γεωμετρίας Riemann. Εισάγαγονται βασικές έννοιες, όπως μετρικές Riemann, συνοχή Levi-Civita, γεωδαισιακές, τανυστής καμπυλότητας, καμπυλότητα Ricci και αριθμητική καμπυλότητα. Επίσης, εισάγαγονται τα υποπολυπτύγματα Riemann και μελετάμε τις θεμελιώδεις εξισώσεις Gauss-Codazzi-Ricci. Το μάθημα ολοκληρώνεται με την παρουσίαση ενός ολικού χαρακτήρα αποτελεσμάτος.

Ύλη: Η ύλη και το περιεχόμενο του μαθήματος είναι ως ακολούθως:

1. Μετρικές Riemann

• Μετρικές Riemann

• Ορθοκανονικά πλαίσια

• Τοπικές εκφράσεις της μετρικής

• Ύπαρξη μετρικών Riemann
  
  

2. Η συνοχή Levi-Civita

• Κατευθυνόμενη παράγωγος

• Η συνοχή Levi-Civita

• Σύμβολα Christoffel

• Διανυσματικά πεδία κατά μήκος καμπυλών

• Μήκος και ενέργεια

• Απόσταση

• Παραγώγιση κατά μήκος απεικονίσεων

• Μεταβολή της ενέργειας

3. Γεωδαισιακές

• Θεώρημα ύπαρξης & μοναδικότητας

• Εκθετική απεικόνιση

• Λήμμα Gauss

• Κυρτές περιοχές
  
  

4. Τανυστής Καμπυλότητας

• Τανυστής καμπυλότητας Riemann

• Αριθμητική και καμπυλότητα Ricci

• Το Θεώρημα του Schur
  
  

5. Υποπολυπτύγματα Riemann

• Εφαπτόμενη και κάθετη δέσμη

• Δεύτερη θεμελιώδης μορφή

• Εξισώσεις Gauss-Codazzi-Ricci

• Θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας

• Θεώρημα Beez-Killing
  
  

6. Ελαχιστικά υποπολυπτύγματα

• Πρώτη μεταβολή του όγκου

• Παραδείγματα ελαχιστικών υποπολυπτυγμάτων

• Η απεικόνιση Gauss μιας ελαχιστικής επιφάνειας

• Αναπαράσταση Weierstrass
  
  

7. Διαφορικοί τελεστές

• Ελλειπτικοί τελεστές-Λαπλασιανός τελεστής

• Η ισχυρλη αρχή μεγίστου του Hopf

• Γεωμετρική μορφή της αρχής μεγίστου

• Το Θεώρημα του Alexandrov
  
  

8. Υποεμβαπτίσεις Riemann

• Εξισώσεις του O’Neill

• Μιγαδικός προβολικός χώρος

• Υποεμβαπτίσεις Hopf
  
  

9. Πλήρη πολυπτύγματα

• Το Θεώρημα Hopf-Rinow

• Το Θεώρημα Hadamard-Cartan

10. Το θεώρημα της σφαίρας

• Πεδία Jacobi

• Θεωρήματα συγκρίσεως

• Κυρτότητα-Θεώρημα Hadamard

• Ομοιομορφικό θεώρημα σφαίρας

• Περί του διαφορομορφικού θεωρήματος της σφαίρας

Βιβλιογραφία: Σε αυτό το μάθημα θα παρουσιάσουμε υλικό από τα παρακάτω βιβλία:

1. M. do Carmo, Riemannian geometry, Birkhauser Boston, 1992.

2. J.-H. Eschenburg, Comparison theorems in Riemannian geometry, Lecture Notes, Universitaet Augsburg, 1994.

3. J. Jost, Riemannian Geometry & Geometric Analysis, Springer, 2017.

4. J. Lee, Riemannian manifolds, Vol. 176, Springer, 1997.

5. P. Petersen, Riemannian geometry, GTM, 171, Springer, 2016.

6. Δ. Κουτρουφιώτης, Διαφορική Γεωμετρία, ΠΙ, 1994.