Περίληψη: Το μάθημα αποτελεί το βασικό εισαγωγικό μάθημα στη Διαφορική Γεωμετρία. Στόχος του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη μελέτη των καμπυλών καθώς και των επιφανειών του τριδιάστατου χώρου ευκλείδειου χώρου. Εισάγονται και μελετώνται θεμελιώδεις έννοιες όπως η καμπυλότητα και η απεικόνιση Gauss. Η μελέτη κάνει χρήση εργαλείων από τη Γραμμική Άλγεβρα τους Απειροστικούς Λογισμούς.
Ύλη: Η ύλη και το περιεχόμενο του μαθήματος είναι ως ακολούθως:
Καμπύλες στον ευκλείδειο χώρο
Αναπαραμέτρηση, κανονικές καμπλυλες, μήκος τόξου.
Καμπυλότητα, στρέψη, τρίεδρο και ταυτότητες Serret-Frenet.
Θεμελιώδες θεώρημα της θεωρίας καμπυλών.
Επίπεδες καμπύλες, καμπύλες σταθερής κλίσης και σφαιρικές καμπύλες.
Παραμετρική παράσταση επιφανειών.
Πρώτη θεμελιώδης μορφή.
Σφαιρική απεικόνιση Gauss.
Δεύτερη θεμελιώδης μορφή.
Kαμπυλότητα Gauss και μέση καμπυλότητα.
Kύριες καμπυλότητες.
Tο έξοχο θεώρημα του Gauss.
Θεμελιώδες θεώρημα της θεωρίας επιφανειών.
Βιβλιογραφία: Θα παρουσιάσουμε υλικό από τα παρακάτω βιβλία:
M. Do Carmo, Differential Geometry of Curves & Surfaces, P. Hall, 1976.
S. Montiel and A. Ros, Curves & Surfaces, GSM, 2009.
A. Prisley, Στοιχειώδης Διαφορική Γεωμετρία, Π.Ε.Κ, 2011.
Δ. Κουτρουφιώτης, Στοιχειώδης Διαφορική Γεωμετρία, LB, 2006.
Διδακτικό υλικό: Για σημειώσεις και φυλλάδια ασκήσεων επισκεφθείτε την σελίδα του μαθήματος στο e-course.