Περίληψη: Το μάθημα αυτό εισάγει τους φοιτητές στις βασικές έννοιες από την γεωμετρία του Ευκλειδείου χώρου, (ευθείες, επίπεδα, σχετικές θέσεις μεταξύ των, καθετότητα). Αυτό θα επιτευχθεί μέσω αξιωματικής θεμελίωσης της Στερεομετρίας και την απόδειξη περιορισμένου αριθμού προτάσεων που θα αφορούν τις σχετικές θέσεις μεταξύ των ευθειών και επιπέδων, καθετότητα ευθείας-επιπέδου, καθετότητα μεταξύ επιπέδων, καθετότητα μεταξύ ευθειών και με αποκορύφωμα το Θεώρημα τριών καθέτων.
Στη συνέχεια, αξιοποιώντας ως εργαλείο τη Γραμμική Αλγεβρα, θα παρουσιαστεί το Καρτεσιανό Μοντέλο για την Ευκλείδεια Γεωμετρία. Αυτό απαιτεί τη μελέτη και κατανόηση των ισομετρίων του Ευκλειδείου χώρου. Επιπλέον εισάγεται η θεμελιώδης έννοια της γεωμετρικής ισοτιμίας, κάτι που καθιστά την εισαγωγή της έννοιας της ομάδας σε μετεγενέστερα μαθήματα απολύτως εύλογη.
Εισάγονται έννοιες όπως διανύσματα, το εσωτερικό τους γινόμενο, το εξωτερικό και μικτό γινόμενο, εμβαδό-όγκος και δίνεται γεωμετρική ερμηνεία της ορίζουσας.
Εξετάζονται λεπτομερώς διάφοροι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί, καθώς και ο τρόπος που μετασχηματίζονται τα εμβαδά και οι όγκοι βασικών γεωμετρικών σχημάτων.
Μέσω των καρτεσιανών συντεταγμένων καταδεικνύεται ότι το Καρτεσιανό Μοντέλο είναι το μόνο ουσιαστικά μοντέλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, μετατρέποντας κατά αυτόν τον τρόπο τα προβλήματα της γεωμετρίας σε προβλήματα του διανυσματικού χώρου R3 τα οποία αντιμετωπίζονται (στο πλαίσιο του μαθήματος) με την Γραμμική Άλγεβρα και σε μετεγενέστερα μαθήματα με μεθόδους Άλγεβρας ή Ανάλυσης. Επιπλέον, το μάθημα καταλήγει εισάγοντας τη βασική ιδέα περί γεωμετρίας του Erlangen Program του Felix Klein, προετοιμάζοντας έτσι κατάλληλα το έδαφος για τα μαθήματα που ακολουθούν.
Ύλη: Η ύλη και το περιεχόμενο του μαθήματος είναι ως ακολούθως:
Αξιωματική Ευκλείδεια Γεωμετρία.
Το Καρτεσιανό Μοντέλο.
Εσωτερικό γινόμενο, διανυσματικό και μεικτό γινόμενο.
Γεωμετρικοί μετασχηματισμοί και γεωμετρική ισοτιμία.
Εμβαδά, όγκοι και ορίζουσες (γεωμετρική ερμηνεία ορίζουσας).
Μοναδικότητα του μοντέλου.
Ευθεία. επίπεδο, σφαίρα.
Αλλαγή συστήματος συντεταγμένων, ειδικά συστήματα.
Καμπύλες και επιφάνειες δευτέρου βαθμού και η ταξινόμηση τους.
Καμπύλες και επιφάνειες, παραμετρική παράσταση.
Διδακτικό υλικό: Για σημειώσεις και φυλλάδια ασκήσεων επισκεφθείτε την σελίδα του μαθήματος στο e-course.