Parabola
1.DEFINIZIONE
La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da una retta detta direttrice e da un punto detto fuoco. Gli enti che consideriamo sono riferibili ad una coppia di assi ortogonali la cui caratteristica è:
l’asse y passante per il fuoco F
la direttrice d perpendicolare all'asse y
l’origine O (vertice della parabola) è equidistante da d e da F
La retta per l’origine O perpendicolare alla direttrice (asse y in questo caso) è l’asse di simmetria della parabola. L’equazione di questa parabola y=ax²
Di seguito vi sono tutte le formule necessarie per tutti i tipi di parabola.
2. CARATTERISTICHE
In base ai coefficienti di x e ai termini noti, possiamo prevedere, in base all'equazione della parabola, come sarà il disegno.
3. DISEGNO DI UNA PARABOLA
Tramite l'utilizzo di Geogebra:
Qui riportiamo il metodo per disegnarla a mano:
Si trova il vertice
Si trova un punto a caso diverso dal vertice (sostituendo un generico punto di x all'interno dell' equazione e vi trovate la corrispondente y)
Si fa il simmetrico di tale punto rispetto all'asse di simmetria
Si traccia il grafico
4.RELAZIONE TRA RETTA E PARABOLA
Le eventuali intersezioni tra una parabola ed una retta possono essere determinate risolvendo il sistema formato dalle loro equazioni.
Nel caso di retta non parallela all'asse y:
Il sistema è di secondo grado e può avere:
due soluzioni distinte, in questo caso la retta è secante la parabola.
una sola soluzione (due coincidenti), la retta è tangente alla parabola.
nessuna soluzione, la retta non incontra la parabola (è esterna).
Nel caso particolare in cui la retta sia parallela all'asse y, cioè all'asse di simmetria della parabola, c'è sempre un solo punto di intersezione.
Infatti un sistema di questo ha sempre un'unica soluzione e avrà il seguente grafico:
Qui di seguito proponiamo un esercizio svolto (in questo caso la retta è secante) e i relativi passaggi
Si imposta il sistema tra l'equazione della parabola e quella della retta
Si inizia risolvere il sistema tramite il metodo di confronto
Avendo ottenuto un'equazione con una sola variabile, x, si risolve trovando le soluzioni di questa
Si sostituiscono i valori trovati nell'equazione della retta
Avendo trovato i punti d'intersezione, si riscrivono le coordinate nella forma canonica (A e B)
Questo è la rappresentazione grafica dell'esercizio; abbiamo utilizzato Geogebra per far sì che fosse più preciso.
5.FASCI DI PARABOLE
I fasci di parabole sono insiemi di parabole con caratteristiche comuni.
Date le parabole (dette generatrici del fascio) γ: y=ax²+bx+c e γ': y=a'x²+b'x+c' ; si scrivono in forma implicita γ: y-ax²-bx-c=0 e γ': y-a'x²-b'x-c'=0
Si scrive la combinazione lineare delle due espressioni ottenute y-ax²-bx-c+ k(y-a'x²-b'x-c')=0 con k reale.
con k=0 otteniamo l' equazione γ: y-ax²-bx-c=0
mentre per nessun valore di k si può ottenere l' equazione γ': y=a'x²+b'x+c'
Gli eventuali punti di intersezione delle due parabole generatrici sono detti punti base del fascio
Per lo studio del fascio occorre esaminare la reciproca posizione delle parabole generatrici:
Se a≠a',cioè se le due parabole generatrici non sono congruenti oppure sono congruenti ma hanno concavità opposta, si hanno tre casi:
Le parabole generatrici sono secanti in A e B. Il fascio ha due punti base: A e B. Il fascio è costituito da tutte le parabole passanti per i punti A e B. Il fascio contiene due parabole degeneri:
-la retta AB;
-la coppia di rette verticali passanti per A e per B.
Le parabole generatrici sono tangenti in un punto A alla retta t. Il fascio ha due punti base coincidenti in A. Il fascio è costituito da tutte le parabole tangenti in A alla retta t. Il fascio contiene due parabole degeneri:
-la retta t (doppia)
-retta verticale passante per A.
Le due parabole generatrici non si intersecano. Il fascio non ha punti base. Il fascio è costituito da parabole che non hanno punti in comune. Il fascio contiene una parabola degenere:
-una retta che non interseca alcuna parabola del fascio.
Se a=a',cioè se le due parabole generatrici sono congruenti, si hanno due casi:
Le parabole generatrici hanno un solo punto in comune A (non doppio).
Il fascio ha un solo punto base: il punto A. Il fascio è costituito da parabole congruenti e con la stessa concavità passanti per A.
Il fascio contiene una parabola degenere:
-la retta verticale passante per A.
Le parabole generatrici non hanno punti in comune.
Il fascio è privo di punti base. Il fascio è costituito da parabole congruenti, con la stessa concavità e con il medesimo asse di simmetria.
Il fascio non contiene parabole degeneri.
6.PARABOLA INTORNO A NOI
Qui di seguito, riportiamo esempi di parabole nella realtà.