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Le Coniche
Le Coniche
Le CONICHE dette anche SEZIONI CONICHE, sono particolari curve piane così chiamate perché si ottengono dall’intersezione tra un piano ed un cono a due falde .
Le CONICHE dette anche SEZIONI CONICHE, sono particolari curve piane così chiamate perché si ottengono dall’intersezione tra un piano ed un cono a due falde .
Per definire un cono a due falde, consideriamo una retta verticale r, detta asse del cono, e su tale retta fissiamo un punto V, il quale si dirà vertice del cono. Consideriamo poi un piano perpendicolare alla retta r e tracciamo una circonferenza avente il centro su r. Il cono a due falde è la superficie formata da tutte le rette (dette generatrici del cono) che passano per V e per un punto qualsiasi della circonferenza.
Per definire un cono a due falde, consideriamo una retta verticale r, detta asse del cono, e su tale retta fissiamo un punto V, il quale si dirà vertice del cono. Consideriamo poi un piano perpendicolare alla retta r e tracciamo una circonferenza avente il centro su r. Il cono a due falde è la superficie formata da tutte le rette (dette generatrici del cono) che passano per V e per un punto qualsiasi della circonferenza.
Dobbiamo anzitutto fare una distinzione tra coniche non degeneri (circonferenza, parabola, ellisse ed iperbole) e coniche degeneri:
Dobbiamo anzitutto fare una distinzione tra coniche non degeneri (circonferenza, parabola, ellisse ed iperbole) e coniche degeneri:
Coniche non degeneri:
Coniche non degeneri:
Consideriamo dunque il cono a due falde di cui si parlava prima ed un piano non passante per il vertice V del cono. A seconda dell'inclinazione del piano rispetto all'asse del cono si ottengono quattro tipi di coniche non degeneri. Nello specifico, cosi come mostrato nell'immagine che segue:
Consideriamo dunque il cono a due falde di cui si parlava prima ed un piano non passante per il vertice V del cono. A seconda dell'inclinazione del piano rispetto all'asse del cono si ottengono quattro tipi di coniche non degeneri. Nello specifico, cosi come mostrato nell'immagine che segue:
- La circonferenza si ottiene dall'intersezione tra il cono a due falde ed un piano perpendicolare al suo asse;
- La circonferenza si ottiene dall'intersezione tra il cono a due falde ed un piano perpendicolare al suo asse;
- L'ellisse è data dall'intersezione tra il cono ed un piano che forma con l'asse del cono un angolo maggiore di alfa ma minore di 90", dove alfa è l'angolo formato tra l'asse del cono ed una delle sue generatrici;
- L'ellisse è data dall'intersezione tra il cono ed un piano che forma con l'asse del cono un angolo maggiore di alfa ma minore di 90", dove alfa è l'angolo formato tra l'asse del cono ed una delle sue generatrici;
- La parabola si ricava dall'intersezione tra una falda del cono ed un piano parallelo ad una delle generatrici, ossia con un piano che forma con l'asse del cono un angolo uguale ad alfa;
- La parabola si ricava dall'intersezione tra una falda del cono ed un piano parallelo ad una delle generatrici, ossia con un piano che forma con l'asse del cono un angolo uguale ad alfa;
- L'iperbole è data dall'intersezione tra il cono ed un piano che forma con l'asse del cono un angolo minore di alfa. Poiché tale piano interseca entrambe le falde del cono, l'iperbole è l'unica conica formata da due rami distinti.
- L'iperbole è data dall'intersezione tra il cono ed un piano che forma con l'asse del cono un angolo minore di alfa. Poiché tale piano interseca entrambe le falde del cono, l'iperbole è l'unica conica formata da due rami distinti.
Coniche degeneri:
Coniche degeneri:
A differenza delle coniche non degeneri, le coniche degeneri si ottengono quando il piano secante il cono passa per il suo vertice V.
A differenza delle coniche non degeneri, le coniche degeneri si ottengono quando il piano secante il cono passa per il suo vertice V.
Si avrà:
Si avrà:
- Un punto, quando il piano forma con l'asse del cono un angolo maggiore di alfa;
- Un punto, quando il piano forma con l'asse del cono un angolo maggiore di alfa;
- Una retta se il piano forma con l'asse del cono un angolo uguale ad alfa, in tal caso la retta ottenuta coincide con una delle generatrici del cono;
- Una retta se il piano forma con l'asse del cono un angolo uguale ad alfa, in tal caso la retta ottenuta coincide con una delle generatrici del cono;
- Una coppia di rette quando il piano forma con l'asse un angolo minore di alfa, queste due rette sono rette incidenti ed il loro punto di intersezione coincide col vertice V del cono.
- Una coppia di rette quando il piano forma con l'asse un angolo minore di alfa, queste due rette sono rette incidenti ed il loro punto di intersezione coincide col vertice V del cono.
Equazione della circonferenza
Equazione della circonferenza
x2 + y2 + ax + by + c = 0
x2 + y2 + ax + by + c = 0
La circonferenza è il luogo dei punti del piano equidistanti dal centro della circonferenza.
La circonferenza è il luogo dei punti del piano equidistanti dal centro della circonferenza.
Equazione della parabola
Equazione della parabola
y = ax2 + bx + c
y = ax2 + bx + c
La parabola è il luogo dei punti del piano che hanno la stessa distanza da un punto detto fuoco e da una retta detta direttrice della parabola.
La parabola è il luogo dei punti del piano che hanno la stessa distanza da un punto detto fuoco e da una retta detta direttrice della parabola.
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