En un triángulo cualquiera ABC, los tres puntos de intersección entre trisectrices de ángulos adyacentes forman un triángulo equilátero DEF, denominado triángulo de Morley

Al triangular un polígono convexo inscrito en un círculo, mediante diagonales que no se intersequen en el interior del polígono, la suma de los radios de los círculos inscritos en los triángulos es una constante (invariante) que es independiente de la triangulación elegida.

Dado un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, cada diagonal determina dos triángulos con los lados del cuadrilátero. Los incentros de esos cuatro triángulos son los vértices de un rectángulo

Si tenemos tres circunferencias tangentes a una recta y a la vez tangentes entre si ,entonces 1 / √r = 1 / √s + 1 / √t siendo r<s<t los radios de las tres circunferencias

El teorema de Pascal (también denominado Hexagrammum Mysticum Theorem) establece que si un hexágono arbitrario se encuentra inscrito en una circunferencia (o elipse) y se extienden los pares opuestos de lados hasta que se cruzan, los tres puntos en los que se intersecan se encontrarán ubicados sobre una línea recta, denominada la línea de Pascal .

El teorema de Pitot establece que en un cuadrilátero convexo que inscribe una circunferencia, el resultado de la suma de los lados opuestos es el mismo. El teorema lleva el nombre del ingeniero francés Henri Pitot

En todo cuadrilátero inscribible en una circunferencia, la suma de los productos de los pares de lados opuestos es igual al producto de sus diagonales

La suma de las distancias desde el circuncentro D a los lados del triángulo ABC es igual a la suma de los radios de las circunferencias inscrita y cinrcunscrita a dicho triángulo

En cualquier cuadrilátero, los puntos medios de los lados forman un paralelogramo cuya área es la mitad de la del cuadrilátero original

Si M es el punto medio de la cuerda AB de un círculo y CF y DE son cuerdas que pasan por M, entonces CE y DF cortan a AB en dos puntos que determinan un segmento del cual M es el punto medio

La suma de las distancias desde un punto hasta los lados de un polígono regular no depende del punto

En el caso del triángulo equilátero dicha suma es igual a la altura

Si en una recta cogemos 3 puntos ( A1 A2 A3 ) y en otra otros 3 ( B1 B2 B3 en el mismo orden que los anteriores) , entonces los segmentos Ai Bj y AjBi ( con i ≠ j) se cortan en tres puntos alineados

Si las diagonales de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia son perpendiculares, entonces toda recta perpendicular a un lado cualquiera del cuadrilátero y que pase por la intersección de las diagonales, divide al lado opuesto en dos partes iguales

Para todo triángulo la suma de los cuadrados de dos lados cualesquiera, es igual al la mitad del cuadrado del tercer lado más el doble del cuadrado de su mediana correspondiente

Si en un triángulo elegimos un punto en cada lado entonces las circunferencias que pasan por un vértice y por los dos puntos elegidos en los lados que concurren en ese vértice son tres circunferencias que pasan por un mismo punto

Sea ABCDEF un hexágono formado por seis rectas tangentes de una circunferencia ó una elipse. Entonces, los segmentos AD, BE, CF se intersecan en un solo punto

Si sobre los tres lados de un triángulo cualquiera se construyen tres triángulos equiláteros exteriores entonces los centros de estos tres triángulos equiláteros forman un nuevo triángulo , que es equilátero, al que se denomina triángulo exterior de Napoleón

Segmento de Euler de un triángulo es el segmento de extremos el circuncentro y el ortocentro. El segmento de Euler contiene también

- al baricentro , que está situado entre el ortocentro y el circuncentro y a doble distancia del primero que del segundo.

- al centro de la circunferencia de Feuerbach, que es su punto medio

En todo triángulo rectángulo la diferencia entre la suma de los catetos y la hipotenusa es igual al diámetro de la circunferencia inscrita

Si en un cuadrilátero convexo cualquiera, se onstruyen cuadrados externos sobre cada lado entonces los dos segmentos que unen los centros de cuadrados opuestos son de igual longitud, y perpendiculares

El ortocentro, el circuncentro y el baricentro de cualquier triángulo están alineados . Además la distancia desde el baricentro al circuncentro es la mitad de la distancia del baricentro al ortocentro.

La recta que los contiene se conoce como recta de Euler que contiene también al punto de Exeter y al centro de la circunferecia de Feuerbach (que es el punto medio entre el ortocentro y el circuncentro)

En un triángulo los tres puntos medios de los lados, los tres pies de las alturas y los tres puntos medios entre el ortocentro y los vértices están sobre una circunferencia (Circunferencia de Feuerbach)

El triángulo órtico de un triángulo acutángulo es el que tiene como vértices los pies de las alturas

El triángulo órtico tiene una importante característica: es el triángulo de perímetro mínimo inscrito en el triángulo de referencia. Es decir, su perímetro es el recorrido mínimo que toca una vez cada uno de los tres lados del triángulo

Por un punto P exterior a una circunferencia se trazan las dos tangentes PA y PB. Por un punto cualquiera C del arco AB, se traza otra tangente a la circunferencia, que corta a las dos anteriores en E y F

Entonces el perímetro del triángulo PEF y el ángulo EOF son independiente del punto C.

El A-círculo de Lucas de un triángulo ABC es el círculo que pasa por el vértice A del triángulo y por los vértices situados en AB y AC del cuadrado inscrito en el triángulo y apoyado en el lado BC. Los tres círculos de Lucas de ABC son tangentes entre si y a la circunferencia circunscrita de ABC.