Exetcițiul 4

Se consideră funcția f:D→R,

f(x) = x ln(x)

1. Să se scrie ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x0 = e de pe graficul funcției.

2. Determinați intervalele de monotonie și coordonatele punctelor de extrem local ale funcției f.

3. Calculați

▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀

────── ୨ Punctul 1 ୧ ──────

Indicii

Ecuația tangentei se calculează după formula y = f(x0) + f'(x0)(x-x0)
Regula de calcul a derivatei pentru înmulțire: (fg)' = f'g +fg'
x' = 1
ln(x)' = 1/x

Rezolvare pas cu pas

y = f(x0) + f'(x0)(x-x0)

1. f(x0)= f(e) = e ln(e) = e

2. f'(x)= x'ln(x) + x ln(x)' = ln(x) + 1

3. f'(x0) = f'(e) = ln(e) + 1 = 1 + 1 = 2

4. y = e + 2(x - e) = 2x - e

Răspuns: y = 2x - e

▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀

────── ୨ Punctul 2 ୧ ──────

Dacă nu există răspuns (ex: funcția nu are interval pe care este strict crescătoare), introdu "x".

Pentru infinit introdu "inf".

Te rugăm să introduci punctele în format P(x;y)

Indicii

D(f): x ∈ (0; +∞)
Punctele critice se află rezolvând ecuația f'(x) = 0
Nu uita să construiești tabelul de variație
x' = 1
ln(x)' = 1/x

Rezolvare pas cu pas

1. f'(x)= x'ln(x) + x ln(x)' = ln(x) + 1

2. f'(x) = 0 <=> ln(x) + 1 = 0 <=> ln(x) = -1 <=> x = e⁻¹ = 1/e

3. f(1/e) = -1/e

Răspuns: Funcția este strict descrescătoare pe intervalul x ∈ (0; e⁻¹] și strict crescătoare pe intervalul x ∈ [e⁻¹; +∞). Aceasta are punct de minim în P(1/e, -1/e) și nu are punct de maxim.

▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀

────── ୨ Punctul 3 ୧ ──────

Indicii

Aplică metoda integrării prin părți
Formula necesară pentru această metodă: uv - ∫vdu
u = ln(x), dv = x dx

Rezolvare pas cu pas

Răspuns: I = 2ln2 - 3/4