Exercițiul 1

Se consideră funcția f : R → R,

Calculați limita

2. Determinați punctele de extrem local a funcției f

3. Calculați

▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀

────── ୨ Punctul 1 ୧ ──────

Definiție:

Se spune că funcția f are limită l ∈ ℝ în punctul x₀ dacă, pentru orice vecinătate U a punctului l, există o vecinătate V a punctului x₀ astfel încât, oricare ar fi x ∈ V ∩(E \ {x₀}), rezultă că f(x) ∈ U.

Pasul 1:

f(1) = 1/2

Pentru a afla f(1) e necesar de substituit x = 1. Atunci:

Pasul 2:

Calculul limitei

L = nedefinit

Se substituie f(x) și f(1) în expresie

Întrucăt x tinde la 1, se înlocuiește x = 1

Fiind că 0/0 este forma exceptată, limita este nedefinită

Matematica în Acțiune: Rezolvă Pasul Următor

Privește videoclipul explicativ și pornește într-o aventură matematică! Te provocăm să găsești singur soluția pasului următor. Aplică-ți creativitatea și gândirea logică pentru a transforma teoria în practică.

Apasă aici! →

Pasul 3:

Simplificarea numărătorului fracției principale

Fracțiile din numărătorul fracției principale se aduc la un numitor comun
Se deschid parantezele

Se colectează termenii asemenea din numărător și se ordonează în forma canonică
Se simplifică fracția
Se scoate semnul negativ în fața parantezei

Pasul 4:

Simplificarea fracției primite

L = 0

Se aplică (a + b)² = a² + 2ab + b²

Se simplifică fracția

Întrucăt x tinde la 1, se înlocuiește x = 1

▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀

────── ୨ Punctul 2 ୧ ──────

Definiție:

Fie funcția f:I→ℝ (I ⊆ ℝ):

Punctul x0 ∈ I se numește punct de maxim local al funcției f dacă există o vecinătate Vx0 a lui x0 astfel încât f(x) ≤ f(x0) ∀x ∈ V(x0) ∩ I. În acest caz, valoarea f(x0) se numește maxim local al funcției f în punctul x0.
Punctul x0 ∈ I se numește punct de minim local al funcției f dacă există o vecinătate Vx0 a lui x0 astfel încât f(x0) ≤ f(x) ∀x ∈ V(x0) ∩ I. În acest caz, valoarea f(x0) se numește minim local al funcției f în punctul x0.
Punctele de maxim local și de minim local se numesc puncte de extrem ale funcției f.
Valorile funcției f în punctele ei de extrem local se numesc extremele locale ale acestei funcții.

Pasul 1:

Aplicarea formulei de derivare a fracției

Atenție!

Se aplică formula

Pasul 2:

Calculul f'(x)

! Indiciu: Întrucât pasul 3 include egalarea f'(x) cu 0, nu este necesară deschiderea parantezelor la numitor

Pasul 3:

Determinarea eventualelor puncte de extrem: x = -3, x = 1

! Nu uita de domeniul de definiții

Se egalează f'(x) cu zero și se rezolvă ecuația

-3 și 1 sunt eventualele puncte de extrem, adică punctele care potențial au putea fi maxime sau minime locale, dar care trebuie verificate prin metode suplimentare.