Embedded Files
Se consideră funcția f : R\{1}→ R,
1. Determinați asimptotele la graficul funcției f
2. Determinați intervalele de monotonie ale funcției f
3. Calculați aria figurii mărginite de graficul funcției f, de asimptota oblică și de dreptele ecuației x = 2 și x = 3
▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀
────── ୨ Punctul 1 ୧ ──────
────── ୨ Punctul 1 ୧ ──────
Definiții:
Asimptotă oblică
Asimptotă oblică
Dreapta de ecuaţie y = mx + n, m ≠ 0 se numeşte asimptotă oblică la +∞ a graficului funcţiei f (a funcţiei f ) dacă lungimea segmentului PQ − |f(x) - (mx + n)| tinde la zero când x → +∞, adică
Dreapta de ecuaţie y = mx + n, m ≠ 0, este asimptotă oblică la +∞ a graficului funcţiei f:E→R dacă
Asimptotă orizontală
Asimptotă orizontală
Dreapta de ecuație y = l se numeşte asimptotă orizontală la +∞ a graficului funcţiei f (a funcţiei f ) dacă lungimea segmentului PQ − |f(x) - l| tinde la zero când x → +∞, adică
Asimptotă verticală
Asimptotă verticală
Dacă limita la stânga(dreapta)
este +∞ sau -∞, se spune că dreapta de ecuaţie x = a este asimptotă verticală la stânga(dreapta) pentru graficul funcţiei f (pentru funcţia f )
Dreapta de ecuaţie a = x este asimptotă verticală pentru graficul funcţiei f dacă ea este asimptotă verticală la stânga, la dreapta sau de ambele părţi.
Formule necesare
Formule necesare
Cunoașterea vine prin repetiție
Cum se rezolvă exercițiile cu limite?
Matematica în Acțiune: Rezolvă Pasul Următor
Matematica în Acțiune: Rezolvă Pasul Următor
Privește videoclipul explicativ și pornește într-o aventură matematică! Te provocăm să găsești singur soluția pasului următor. Aplică-ți creativitatea și gândirea logică pentru a transforma teoria în practică.
Determinarea asimptotei verticale:
x = 1Determinarea asimptotei verticale:
Din condiție, Df: R\{1}
Se calculează limita de stânga în 1 a f(x)
Se calculează limita de dreapta în 1 a f(x)
Întrucât ls = - și ld = +, funcția f(x) are asimptotă verticală în x = 1
Determinarea asimptotei orizontale:
Nu există
Se calculează limita la +∞ în 1 a f(x)
Caz nedefinit
Se substituie +∞
Întrucât limita este egală cu +∞, funcția f(x) nu are asimptotă orizontală, are sens studiul asimptotei oblice
Determinarea asimptotei oblice
Pasul 1:
m = 1
Se află valoarea m prin funcția:
Se aplică formula și se simplifică fracția
Se scoate factorul comun x² și se reduc termenii
Se substituie +∞
Determinarea asimptotei oblice
Pasul 2:
n = 2
Se află valoarea n prin funcția:
Se aplică formula și se introduce -x în fracție
Se scoate x ca factor comun
Se substituie +∞
Determinarea asimptotei oblice
Pasul 3:
y = x + 2
Asimptota oblică are forma y = mx + n
Întrucât m și n sunt numere reale, există asimptotă oblică în y = x + 2
!
!
▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀
────── ୨ Punctul 2 ୧ ──────
────── ୨ Punctul 2 ୧ ──────
Pasul 1:
Aplicarea formulei de derivare a fracțieiPasul 1:
Atenție!
Se aplică formula
Pasul 2:
Pasul 2:
Calculul f'(x)
! Indiciu: Întrucât pasul 3 include egalarea f'(x) cu 0, nu este necesară deschiderea parantezelor la numitor
Pasul 3:
Pasul 3:
Determinarea zerourilor: x = -1, x = 3
! Nu uita de domeniul de definiții
f : R\{1}→ R
Se egalează f'(x) cu zero și se rezolvă ecuația
Pasul 4:
Pasul 4:
Determinarea intervalelor de monotonie
Se cunosc:
zerourile x = -1, x = 3
valoaera x = 1 pentru care funcția nu există
Se construiește tabelul de variație
Din tabel reiese că pe intervalele
x∈(-∞;-1)∪(3;+∞) funcția f(x) este monoton crescătoare
x∈(-1;3)\{1} funcția f(x) este monoton descrescătoare
Cum se construiește tabelul de variație?
Cum se construiește tabelul de variație?
▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀
────── ୨ Punctul 3 ୧ ──────
────── ୨ Punctul 3 ୧ ──────
Teorie:
Aria domeniului plan delimitat de graficul unei funcții continue f:[a, b] → R, f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b], de axa absciselor și de dreptele de ecuație x = a și x = b este reprezentat geometric de integrala definită
Mulțimea punctelor acestui domeniu plan se numește subgraficul funcției f și se notează
Γf = {(x, y) ∈ R² | a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)}, R² = R × R
Această mulțime are aria
Pe grafic sunt plasate:
Graficul funcției f(x)
Asimptota oblică a(x) = x + 2
Dreapta x = 2
Dreapta x = 3
Aria figurii mărginite de graficul funcției f, de asimptota oblică și de dreptele ecuației x = 2 și x = 3 este reprezentată de integrala definită
Pasul 1:
Pasul 1:
Descompunerea expresiei
Se substituie f(x) și a(x) în formulă
Întrucât aria e mereu pozitivă, modulul se deschide cu semnul +
Se descompune integrala definită și se scrie sub formă de integrală nedefinită
Pasul 2:
Pasul 2:
Calculul limitelor nedefinite
Se notează x - 1 ca t
Se efectuează calculele
Se efectuează simplificările și se adună termenii asemenea
Se integrează
Se revine la notația inițială
Pasul 3:
Pasul 3:
Se substituie valorile integralei definite conform regulei Newton-Leibniz
Aria figurii mărginite este 4ln2 cm²
▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀▄▀
────── ୨ Răspuns ୧ ──────
────── ୨ Răspuns ୧ ──────
Punctul 1
Punctul 1
──────── ୨୧ ────────
Funcția f are asimptotă verticală în x = 1;
Funcția f nu are asimptotă orizontală;
Funcția f are asimptotă oblciă în
y = x + 2
Punctul 2
Punctul 2
──────── ୨୧ ────────
Pe intervalele
x∈(-∞;-1)∪(3;+∞) funcția f(x) este monoton crescătoare;
x∈(-1;3)\{1} funcția f(x) este monoton descrescătoare
Punctul 3
Punctul 3
──────── ୨୧ ────────
Aria figurii mărginite este
4ln2 cm²
Page updated
Google Sites
Report abuse