Porque Escolher a Conjectura de Collatz?

Porque quaisquer pessoas alfabetizadas, crianças com dois ou três anos iniciais de estudo ou simpatizantes das ciências exatas conseguem somar uma unidade (1) a um número, conseguem dividir um número par por dois (2) e multiplicam um número ímpar por três (3). Além disso, no anseio de descobrirem a maior Sequência de Collatz^[1] estarão praticando esses cálculos por muito tempo, um treinamento que é necessário para a vida acadêmica. Também trata-se de um desafio que foi aceito por grandes gênios da matemática, doaram anos e até décadas das suas vidas tentando resolve-lo. Então, escolher a Conjectura de Collatz também é um tributo a todas essas maravilhosas pessoas que nos proporcionaram este deleite. Esta Conjectura já foi alvo de grandes piadas, grandes gênios da matemática tiveram que admitir que a matemática conhecida não tem como resolver este problema, a apresentação de provas da sua resolução pagaria grandes prêmios em dinheiro. Certamente com menos que quinze anos estudando esta Conjectura um ser humano normal, ou mesmo um com QI elevado, não chegará a entender nem em que bases numéricas ela está fundamentada.

Enunciado da Conjectura:

Segundo o enunciado da Conjectura de Collatz^[1] devemos escolher um número qualquer do Conjunto dos Números Naturais (N*), então escolhemos x, que em função do y será identificado como par ou ímpar, e aplicar as regras:
N* = N - { 0 } = { x Є N* ˄ y Є N* | x > 0 ˄ y > 0 }

· Para o número que for ímpar (r) deverá imediatamente aplicar as regras da Conjectura, que consistem em multiplicar por três (3) e somar uma unidade (1), obtendo como resultado um número par (k) em cem por cento (100%) desses cálculos;
r = { r Є N *| r = y / 2 - 1 → r ≡ 1 (mod 2) | r > 0 ˄ y > 0 }

Ɐ k = ( ( r . 3 ) + 1 )

· Para todo número que for par (k) deverá obter como resultado a metade dele próprio simplesmente dividindo por dois (2), porém o resultante pode ser par (k) em cinquenta por cento (50%) dos cálculos ou pode ser ímpar (r) nos cinquenta por cento (50%) dos cálculos restantes;
k = { k Є N *| k = y / 2 → k≡ 0 ( mod 2 ) | k > 0 ˄ y > 0 }
Ɐ k = ( k / 2 ) ˅ r = ( k / 2 )

· Inevitavelmente deverá parar os cálculos quando encontrar o número um (1) como resultado, ou repetirá uma sequência de cálculos com resultados desnecessários: quatro, dois e um (4, 2, 1) infinitamente. Cem por cento (100%) de imediata conversão dos números ímpares para os números pares, somando mais cinquenta por cento de chances de os resultantes dos cálculos com números pares resultarem em números pares tornam inevitável a queda no valor dos resultados. Teremos em média que em aproximadamente sessenta e cinco por cento (65%) dos cálculos serão as divisões e o restante serão as multiplicações por três (3) e a soma por um (1). Não deve ser difícil chegar a essa conclusão, principalmente se escolher os números entre o número um (1) e o número cem (100) como amostra, os números quadro (4), cinco (5), oito (8), dezesseis (16), vinte e um (21), trinta e dois (32), sessenta e quatro (64) e oitenta e cinco (85) terão em todos os cálculos somente divisões. Ainda temos os números que em todos os cálculos tem apenas um número ímpar, um (1), três (3), dez (10), treze (13), quarenta (40), quarenta e dois (42), cinquenta e três (53), oitenta (80) e oitenta e quatro (84). O único número em que todos resultados são números ímpares é o número dois (2).

Destacar as Divisões:

Muitos denominam a Conjectura de Collatz como sendo o "Problema 3n +1", eu acho deselegante não dar os méritos e créditos a quem publicou primeiro, além disso, veremos que todos os dados importantes obtidos na Conjectura vieram da divisão simples por dois (2). Podemos ir além, quando o número é ímpar é multiplicado por três (3) e após receber a soma de uma unidade (1) já se transformou em um número par bem maior que o número ímpar que o originou. São as divisões que nos fornecem o caminho do resultado final.

Nos meus cálculos sempre usei o "x" no lugar do "n", desta forma a função de (T(x)) é:

• Para todo número que for par divida-o por dois (2), desta forma:

P = { x Є N *| x = y / 2 → x ≡ 0 ( mod 2 ) | x > 0 ˄ y > 0 }
Ɐ x / 2 → x ≡ 0 (mod 2) .

• Para todo número que for ímpar multiplique-o por três e some uma unidade, dividindo por dois o resultado, desta forma :

I = { x Є N *| x = y / 2 - 1 → x ≡ 1 (mod 2) | x > 0 ˄ y > 0 }
Ɐ (3x + 1)/2 → x ≡ 0 (mod 2), x > 0 .

• Se o resultado chegar ao número um (1) poderá finalizar os cálculos, não existe número inteiro menor que um (1) dentro do nosso enunciado:
  1 → x = 1.

Conjunto dos Números Naturais:

O Conjunto dos Números Naturais (N) inicia em zero (0) porque ele não é negativo, porém, vamos impor o uso do Conjunto dos Números Naturais Positivos (N*). A neutralidade do número zero (0) neste caso é constatada por não podermos dividi-lo por dois, afinal trata-se de um número par^[18], além disso o resultado para o cálculo seria o próprio número zero (0). Como os Números Naturais eram usados para contar objetos, originaram-se das palavras usadas para tais contagens, curiosamente as contagens iniciavam no número dois (2) e depois os demais números acima^[7]. Deve ter sido difícil provar que deveriam iniciar a contagem dos objetos a partir do número um (1), afinal um (1) é apenas um (1), agora imaginem quando inseriram o número zero (0) num Conjunto numérico usado para contar as coisas e não a ausência delas. Pode ser engraçado agora, mas em mais alguns minutos de leitura perceberá que é perder tempo aplicar a Conjectura de Collatz em números menores que três, nesse momento a graça desaparecerá.

N* = N - {0} = { x Є N* | x> 0}

Por definição um Conjunto é infinito quando não é finito^[8], assim para afirmar que uma sequência numérica é infinita basta provar a correspondência biunívoca dela com um Conjunto infinito^[8].

O N* é um conjunto infinito, sendo um conjunto infinito contável por definição, portanto o número cardinal do Conjunto dos Números Naturais (N*) é Aleph-zero (ℵ₀)^[8].

Sobre as propriedades dos números naturais podemos afirmar que nas operações com números naturais, ou seja, nas adições e multiplicações entre eles sempre resultarão em novo número natural. Quanto ás divisões e subtrações não, poderá obter qualquer número natural como não natural, por isso a Conjectura de Collatz impõe a divisão somente por 2 e também somente para os números pares.

Conceito de Infinito:

Encontramos o verdadeiro infinito, ou o infinito atual ou completado^[17] somente quando consideramos a totalidade dos números:

1, 2, 3, 4, 5, … como uma unidade completa.

Ou quando tomamos os pontos de um intervalo como uma totalidade que existe, de uma só vez:

A quantidade de pontos do intervalo entre zero (0) e um (1) se acrescentar infinitas casas decimais, a totalidade dos Números Reais entre zero (0) e um (1) a quantidade de pontos que compõem uma linha reta entre muitos outos exemplos.

História da Conjectura:

Nas primeiras semanas é divertido observar que todos cálculos finalmente chegam ao resultado único, o número um (1). Após alguns meses a busca pelo maior número de cálculos para obter o inevitável número um (1) torna-se a nova diversão. Mas o primeiro ano chega ao fim e pode perceber o porquê tantos gênios da matemática doaram anos ou talvez décadas a Conjectura, porém, nenhum deles forneceu uma resposta para o porquê e como os resultados sempre são conduzidos até o número 1. O matemático alemão Professor Doutor Lothar Collatz^[2] cuja genialidade o levou a mais que 7 doutorados honoris causa propôs essa Conjectura em 1937, só que ele já conhecia a Conjectura como uma Função matemática desde 1931^[10]. O gênio matemático húngaro Paul Erdös^[3], com mais que 1500 artigos publicados, disse que "a matemática não está pronta para esse tipo de problema"^[4]. Chegou a oferecer um prêmio de US$ 500 para quem apresentasse uma solução para a Conjectura^[11]. Ambos perceberam que existem variações entre as formulas matemáticas para cada número chegar ao resultado 1, existem também variações na quantidade de cálculos para obter tal resultado. Se observar uma planilha plotada em algumas folhas formato A0 e começar a cobrir as suas paredes com a sequência de cálculos somente do número um (1) até o número um milhão (1000000) perceberá o caos, poderá afirmar assim como fez Paul Erdös que é "absolutamente impossível"^[4]. No mundo acadêmico chegaram a fazer uma brincadeira, dizendo que a Conjectura de Collatz fazia parte de uma conspiração para desacelerar as pesquisas matemáticas dos EUA^[12]. A maioria dos matemáticos da época perderam meses e até anos tentando solucionar a Conjectura, com isso deixavam os seus projetos matemáticos de lado. Thwaites ofereceu mil libras esterlinas (£1000) de recompensa para quem apresentasse uma prova para a conjectura independente que formulou^[13].

Conferindo os Cálculos em Planilhas Eletrônicas:

Se pretende iniciar a conferência deste trabalho, usando a ferramenta Planilha do Google ou Microsoft Office Excel 2013 ou superior, poderá usar a seguinte fórmula:

=SE(ÉIMPAR(A1);(A1*3)+1;A1/2)

Novo Raciocínio para Entender o Enunciado:

O genial Paul Erdös estava certo, "a matemática que conhecemos não está preparada para resolver" a Conjectura de Collatz. O potencial e conhecimento aqui descritos só atingirão aos matemáticos cujos conhecimentos em bases numéricas e criptografia avançada permite-lhes compreender.
Antes de prosseguir, três dicas para auxiliar a entender a magnitude deste Projeto:

1. O autor precisou de dezessete (17) anos para resolver esse problema, não será humilhação alguma para o prezado leitor usar uma hora ou duas para ler e reler o conteúdo quantas vezes forem necessárias para entender as respostas.

2. Isto é ciência, então até que se evolua neste Projeto o conhecimento aqui contido só pode ser atualizado, nunca contestado.

3. Como dizia o célebre Prêmio Nobel de Física (1945), o Professor Doutor Wolfgang Ernst Pauli^[26]: "O leigo pensa habitualmente que, quando diz “realidade”, fala de algo que é conhecido de forma evidente, quanto a mim me parece que a tarefa mais importante e mais difícil do nosso tempo consiste em trabalhar na elaboração de uma nova concepção da realidade."

Se entrar na sala de um curso de engenharia mecânica ou física newtoniana, e começar a expor um exercício: "A cidade Alfa está localizada a 200 km de distância em linha reta sobre uma estrada também reta da cidade Beta, em determinado momento alguém sai da cidade Alfa rumo à cidade Beta conduzindo um veículo cuja velocidade média é 100 km/h."

Neste momento, mesmo sem formular nenhuma pergunta, todos alunos já sabem:

• Distância 200 km;

• Velocidade média 100 km/h;

• Resposta presumida única: "O tempo necessário para percorrer o trajeto da cidade Alfa até a cidade Beta é 2 h."

Quando o matemático alemão Professor Doutor Lothar Collatz^[2] propôs trabalharmos apenas com o Conjunto dos Números Naturais, quando se tratar de número par dividir por 2, quando se tratar de número ímpar devemos converte-lo em número par, multiplicando-o por três (3) e somando uma (1) unidade.

Deveríamos saber:

• Podemos escolher qualquer número inteiro maior que 0 até o infinito;

• Embora as divisões por dois (2) aplicadas em números pares sempre apresentarão o zero (0) como resto, são essas divisões que nos conduzem para o único resultado, o número um (1), então devemos saber que "D" é o dividendo, "q" é o quociente e "d" é o divisor e não pode ser igual a zero (0), o que sobra é o "r" resto:
  D = q × d + r | d ≠ 0

• É dividindo por 2 que chegará ao número um (1), então multiplicando o número um (1) por 2 obterá estes números: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 até o infinito^[9];

• Todos os números inteiros pares com base binária ou decimal são múltiplos de dois (10, 2), então cinquenta por cento (50%) do N* é divisível por dois (10,2);

• 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2 e 1 é parte da sequência de valores^[9] usados na codificação entre o Sistema de Numeração Binário^[6] e o Decimal, porém, também é o caminho mais curto para o resultado da Conjectura ao aplicar a divisão;

• Número é o conceito matemático que descreve uma quantidade;

• Algarismos são símbolos gráficos usados para representar os números;

• Sistema de numeração é o conjunto de regras de utilização dos algarismos que definem como escrever e representar os números;

• Base numérica é a maneira de representar os números e interpretar algarismos, é a sustentação de todos os sistemas de numeração, originada da correta ideia de que contar em grupos determinados é mais prático que contar em unidades^[21].

• O Sistema de Numeração Decimal é um Sistema Posicional, os valores dependem das posições de cada um dos dez algarismos entre o zero (0) e o nove (9), são os números que usamos no cotidiano, as quantidades são agrupadas de 10 em 10, recebem denominações dependendo da sua Ordem (Unidades, Dezenas e Centenas) ou Classe (Unidades Simples, Milhares, Milhões, … )^[19];

• O Sistema de Numeração Binário^[6] é um Sistema Posicional, os valores dependem das posições de cada bit (Binary Digit), que são representados somente por zero (0) ou um (1)^[20], é a base usada para armazenar os dados nos nossos computadores e é excelente para realizar cálculos^[22], um agrupamento de oito (8) bits corresponde a um (1) byte (Binary Term);

• Um Nible é a sucessão de quatro (4) bits^[28], e quatro (4) também é o número mínimo de algarismos binários necessários para representar uma cifra decimal. Por ser a base do Sistema de Codificação BCD^[27], que representam números decimais como sucessões de nibbles que representam as cifras destes;

• Toda multiplicação cujo número inteiro multiplicador seja ímpar ao ser multiplicado pelo multiplicando também um número inteiro e ímpar, sendo que quaisquer ou ambos sejam iguais ao número três (3) tem como produto outro número inteiro ímpar múltiplo de três (3). Sendo o multiplicador e o multiplicando dois fatores, a ordem dos fatores não altera o produto;

• Tenho que multiplicar por 3 e somar 1 porque o resultado é par, e imediatamente retomar as divisões por 2;

• Poderia usar "n"x + 1 onde n poderia ser qualquer número inteiro acima de zero (0), porém, somente 3n + 1 mantem a lógica binária.

Respostas:

• Resposta presumida 1: "Números binários são compostos por zeros (0) e uns (1), só que todo resultado é apenas um número 1."

• Resposta presumida 2: "Preciso de agrupamentos de zeros (0) e uns (1) formando conjuntos de oito dígitos, números binários^[6]."

Bases Numéricas Binária e Decimal Simultâneas:

Se perceber, no final de cada sequência de cálculos obtemos sempre uma sequência binária total ou parcialmente: 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2^[9] e finalmente o número 1. Não existe outra forma de sempre chegar ao número 1 no final dos cálculos, é necessário entender que estamos sempre dividindo os números pares por 2, e que os ímpares sempre são imediatamente convertidos em pares. Então, a resposta da Conjectura pode ser conquistada ao aplicarmos a codificação do Sistema de Numeração Binário^[6] para O Sistema de Numeração Decimal, pois devemos entender que a Conjectura de Collatz^[1] é binária na estrutura numérica.

Paridade:

Paridade^[23] significa identificar se determinado número é par ou ímpar, na base dez (10) já sabemos que os números terminados com 1, 3, 5, 7 e 9 são números ímpares e os terminados em 0, 2, 4, 6, 8 são números pares. Para os binários os números terminados em zero (0) são pares e em um (1) são ímpares, então se usarmos a Conjectura de Collatz em binários optando pelo número três (3) temos:

EM BINÁRIOS EQUIVALENTE EM DECIMAIS

11 = 11 3 = 3

11 × 11 = 1001 3 × 3 = 9

1001 + 1 = 1010 9 + 1 = 10

1010 / 10 = 101 10 / 2 = 5

101 × 11 = 1111 5 × 3 = 15

1111 + 1 = 10000 15 + 1 = 16

10000 / 10 = 1000 16 / 2 = 8

1000 / 10 = 100 8 / 2 = 4

100 / 10 = 10 4 / 2 = 2

10 / 10 = 1 2/ 2 = 1

Podemos perceber claramente que os números binários pares divididos por dois (10) sempre perdem o último bit da direita, e esse bit sempre corresponde ao bit (0). Assim, como todos os números pares são múltiplos de dois (10,2) então metade do N* é divisível por dois (10,2).
Não deve confundir o conceito de paridade aqui apresentado com os conceitos de transmissão de dados binários^[24] e o método do bit de paridade^[25].

Início das Descobertas:

Durante a execução dos cálculos, após os 11 anos (2003 - 2013) iniciais estudando a Conjectura de Collatz^[1], o matemático brasileiro Paulo Estevão Pauli^[5] percebeu que não importava o número usado para aplicar as regras da Conjectura de Collatz^[1], sempre há um momento em que os resultados entram em processo decrescente. Entre os resultados sempre haverão muitos números menores que o escolhido inicial (NI), porém, dentre todos estes é muito importante destacar somente o primeiro número resultante que é menor ou igual ao inicialmente escolhido.

Sendo que x e y pertencem ao N*:

N* = N - { 0 } = { x Є N* ˄ y Є N* | x > 0 ˄ y > 0 }

Os números ímpares representados pela letra r para a Conjectura de Collatz:

r = { r Є N *| r = y / 2 - 1 → r ≡ 1 (mod 2) | r > 0 ˄ y > 0 }

Ɐ k = ( ( r . 3 ) + 1 )

Os números pares representados pela letra k para a Conjectura de Collatz:

k = { k Є N *| k = y / 2 → k≡ 0 ( mod 2 ) | k > 0 ˄ y > 0 }

Ɐ k = ( k / 2 ) ˅ r = ( k / 2 )

Os números iniciais e resultados NI representados pela letra P se forem pares, para o DNA do N*:

P = { x Є N *| x = y / 2 → x ≡ 0 ( mod 2 ) | x > 0 ˄ y > 0 }
Ɐ x / 2 → x ≡ 0 (mod 2)

Os números iniciais e resultados NI representados pela letra I se forem ímpares, para o DNA do N*:

I = { x Є N *| x = y / 2 - 1 → x ≡ 1 (mod 2) | x > 0 ˄ y > 0 }

Ɐ (3x + 1)/2 → x ≡ 0 (mod 2), x > 0

O primeiro resultado (bit), seja par (P) ou ímpar (I), que for menor ou igual ao número inicial (NI) deve encerrar a sequência de cálculos:

Ɐ P ˅ I ≤ NI = bit | bit Є N *

Os resultados apresentam incrível ordem e assim como proposto no enunciado, separará esses bits entre pares e ímpares. Para melhor visualização em uma planilha gigante poderá usar células coloridas de amarelo para os números pares e de laranja para os números ímpares. Seria apreciável também colorir os números, os números pares pintados de vermelho e os números impares pintados de verde.

Padrões Numéricos Apresentados:

Ao separar os primeiros números menores que o inicial (bits) algumas sequências numéricas começaram a se repetir, mais que isso, essas sequências se apresentam de forma organizada inicialmente em pequenos triângulos (4,7 e 5; 6, 10 e 7; 8,13 e 9; 10, 16 e 11; segue assim infinitamente, temos uma pequena amostra conforme demonstrado na figura abaixo). Para melhor entendimento deve identificar essas sequências, se realmente são parte de uma estrutura numérica binária deverão apresentar coerências matemáticas quando separadas a cada 8 bits (Bytes).

As Duas Primeiras Bases do DNA:

Ao aplicar as regras desde o número 7 até o número 14, terá como os primeiros números menores que os iniciais escolhidos (NI) já identificados entre pares e ímpares (bits), e assim chegará a seguinte formação: "ímpar, par, ímpar, ímpar, par, par, par e ímpar", que denominará de "Base Verde". Repetir a operação agora entre os números 15 e o número 22, e obterá a seguinte formação: "par, par, ímpar, ímpar, ímpar, par, par e ímpar", que denominará "Base Azul".

Pares e Ímpares são Identificadores de Dígitos Binários:

Na "Base Verde" deve substituir os números ímpares pelo número 1 e os pares pelo número 0 terá o número que quando codificado do binário resulta em 177 decimal, inverter então a operação, os ímpares serão substituídos por 0 e os pares pelo número 1, codificado do número binário terá o número 78 em decimal. Fazendo o mesmo com a "Base Azul" terá os números 57 e 198.

Agora precisará fazer a prova dessas "Bases", e assim subtrair a "Base Azul" da "Base Verde" usando os decimais obtidos nesses procedimentos, "177 - 57 = 120". Ao fazer a mesma operação entre os invertidos terá "78 - 198 = -120", assim obterá a certeza de estar no caminho certo. Sabendo que os valores desses dígitos são fixos entre Pares (k) ou ímpares (r) e sabendo que as variáveis “k” e "r" pertencem a N*:

k = { k Є N *| k = y / 2 → k≡ 0 ( mod 2 ) | k > 0 ˄ y > 0 }

r = { r Є N *| r = y / 2 - 1 → r ≡ 1 ( mod 2 ) | r > 0 ˄ y > 0 }

limₓ ͢ ͚ = L

Ɐ Є > Ǝ N* Є N *; Ɐ k Є > Ǝ N* Є N * ˄ Ɐ r Є > Ǝ N* Є N* → | k - L | ˄ | r - L | < Є

Como o DNA têm quatro bases, vamos conhecer então as outras duas bases, repetindo tudo novamente tomando a sequência numérica dos números 135 ao 142 obterá a "Base Vermelha" e seguindo em frente fazendo o mesmo com a sequência numérica dos números 143 ao 150 obterá a "Base Cinza". Escolhi esta sequência entre os números 135 e o 150 porque é uma sequência que exibe a "Base Vermelha" e a "Base Cinza" nessa ordem, mais adiante verão que essa escolha não é tão importante quanto parece.

As Duas Últimas Bases do DNA:

Repetir todos procedimentos e codificar as sequências numéricas em binário, obterá da "Base Vermelha" o número 49 decimal e com o número binário invertido obterá o número 206 decimal, na "Base Cinza" obterá o número 185 decimal e com o número binário invertido obterá o número 70 decimal. Realizar a prova das "Base Vermelha" e "Base Cinza", igualmente obterá "49 - 185 = -136", nos binários invertidos obterá "206 - 70 = 136". Sabendo que os valores desses dígitos são fixos entre pares (k) ou ímpares (r) e sabendo que as variáveis “k” e "r" pertencem a N*:

k = { k Є N *| k = y / 2 → k≡ 0 ( mod 2 ) | k > 0 ˄ y > 0 }

r = { r Є N *| r = y / 2 - 1 → r ≡ 1 ( mod 2 ) | r > 0 ˄ y > 0 }

limₓ ͢ ͚ = L

Ɐ Є > Ǝ N* Є N *; Ɐ k Є > Ǝ N* Є N * ˄ Ɐ r Є > Ǝ N* Є N* → | k - L | ˄ | r - L | < Є

Agora terá conquistado as 4 bases do DNA do Conjunto dos Números Naturais Positivos, obtido de cada uma das quatro sequências numéricas de oito dígitos que identificamos como binárias.

Apenas Dois (2) dos Oito (8) Bits são os Identificadores das Bases:

Se reparar no gráfico abaixo, somente o primeiro bit e o quinto bit são responsáveis pela identificação de cada uma das Sequências, elas são apenas quatro (4) e não existe a hipótese de haver uma quinta Sequência. Seguindo essa lógica pode afirmar que existe uma correspondência biunívoca entre essas quatro sequências numéricas e o Conjunto dos Números Naturais (N*).

Axioma da Indução:

O Conjunto dos números usados na Conjectura de Collatz (CC) pertencem ao Conjunto dos Número Naturais, que sabemos ser um Conjunto infinito.

{CC} Є {N} ˄ {N} = {0, 1, 2, 3, …}

O Conjunto dos Números Naturais (N) possui o número zero (0), porém o número zero (0) é neutro e por esse motivo não podemos afirmar que ele é par ou ímpar.

Assim devemos adotar o Conjunto dos Números Naturais sem o zero (0), além disso o Conjunto numérico deve possuir apenas os números positivos, que seria representado por N*.

N* = N - {0} = N > 0 ⸫ {CC} Є N*

O DNA do N* contém apenas quatro (4) Sequências: Sequência Azul = SAD1D5, Sequência Verde = VDD1D5, Sequência Vermelha = VMD1D5 e Sequência Cinza = CZD1D5.

{DNA N*} ⸧ {SAD1D5, VDD1D5, VMD1D5, CZD1D5}

Todas as quatro (4) Sequências contém 8 bits:

{SAD1D5} ⸧ {D1, D2, D3, D4, D5, D6, D7, D8}

{VDD1D5} ⸧ {D1, D2, D3, D4, D5, D6, D7, D8}

{VMD1D5} ⸧ {D1, D2, D3, D4, D5, D6, D7, D8}

{CZD1D5} ⸧ {D1, D2, D3, D4, D5, D6, D7, D8}

Todas as quatro (4) Sequências tem em comum os mesmos seis (6) bits, então a intersecção entre elas é representada por esses seis (6) bits identificados:

{SAD1D5} ∩ {VDD1D5} ∩ {VMD1D5} ∩ {CZD1D5} = {D2, D3, D4, D6, D7, D8}

Assim sendo, sabendo que os valores desses bits são fixos entre pares (k) ou ímpares (r) e sabendo que as variáveis “k” e "r" pertencem a N*:

k = { k Є N *| k = y / 2 → k≡ 0 ( mod 2 ) | k > 0 ˄ y > 0 }

r = { r Є N *| r = y / 2 - 1 → r ≡ 1 ( mod 2 ) | r > 0 ˄ y > 0 }

x Є { N* } ⸫ Ɐ ( D2 = k ) Ɐ ( D3 = r ) Ɐ ( D4 = r ) Ɐ ( D6 = k ) Ɐ ( D7 = k ) Ɐ ( D8 = r )

Então os outros dois (2) bits tem valores que variam entre pares (k) e Ímpares (r), assim, mantendo a variável “x” temos:

x Є { N* } ⸫ Ɐ ( D1 = k ˅ D1 = r ) ˄ Ɐ ( D5 = k ˅ D5 = r )

Se estes dois bits somente podem variar entre Pares e Ímpares, dentro de somente quatro (4) combinações que denominamos Sequências teremos: ( P, P ), ( I, I ), ( I, P ) e ( P, I ) e não há a possibilidade de existir mais uma combinação. Assim sendo temos quatro (4) opções (P ou I) que apresentaremos com a letra “m” em cada uma das opções que serão apresentadas pela letra “h”, então temos um Arranjo que apresentaremos com a letra A:

m, h Є N* | m ≤ h

Aₘˏₕ = m! / (m – h)! ⸫ Aₘˏₕ = 4! / (4 – 1)! ⸪ Aₘˏₕ = 4

Somente quatro (4) Arranjos são possíveis nessas quatro (4) Sequências.

Todos os números originados do DNA N* serão representados nessas quatro (4) Sequências.

DNA N* Є N* ⸪ {CC} Є N* ⸫ N* ⸦ DNA N* ⸫ N* ⸦ Aₘˏₕ

Demonstração por Indução:

Sejam essas quatro Sequências numéricas as únicas possíveis pertencentes ao Conjunto dos Número Naturais não nulos, e tendo elas uma função bijetiva com esse conjunto:
N* = N - { 0 } = { SAD1D5 → N* ˄ N* → SAD1D5 | VDD1D5 → N* ˄ N* → VDD1D5 | VMD1D5 → N* ˄ N* → VMD1D5 | CZD1D5 → N* ˄ N* → CZD1D5 }

Desta forma, ao entender que houve uma correspondência biunívoca entre o DNA do Conjunto dos Números Naturais (N*) e o Conjunto dos Números Naturais (N*), então, conforme argumenta o matemático brasileiro Paulo Estevão Pauli:

"DO NOVO ENTENDIMENTO DA CONJECTURA DE COLLATZ A TRANSFORMAMOS EM TEOREMA DE COLLATZ, AS BASES NUMÉRICAS SÃO DECIMAIS E BINÁRIAS SIMULTÂNEAMENTE".

Conclusões:

• Provamos que ao usarmos as regras da Conjectura de Collatz como são fornecidas originariamente não se chega a nenhuma conclusão.

• Provamos que, ao isolarmos o primeiro número menor que o escolhido para se submeter as regras da Conjectura uma estrutura numérica com base binária é fornecida, e essa estrutura tem correspondência biunívoca com N*.

• Provamos que a estrutura binária que denominamos aqui DNA do N* além de ser infinita é uma grande fonte de dados precisos que podem e devem ser usados em criptografia avançada.

Respostas á Conjectura de Collatz:

• Qual a importância deste Projeto Científico Matemático?

1. Ele fornece importantes informações para a ciência da Criptografia.

2. Apresenta importante base matemática binária pura para a construção de nano-processadores.

3. Ao invés de simplesmente transformar a Conjectura em Teorema, e da transformação não apresentar nada novo, ele apresenta uma nova forma de trabalhar com as bases numéricas binária e decimal simultaneamente.

• Foram escolhidas quatro (4) Bases de um (1) byte cada, poderia ser diferente?

Quanto ás possibilidades de agrupar os valores, em vez de quatro (4) grupos de oito (8) bits denominados Bases (bytes) poderiam ser oito (8) grupos de quatro (4) bits (nibles), nada impede de a partir do conhecimento descrito fazerem quantos grupos quiserem desde que tenham lógica. Porém, ao fazer isso numa planilha perceberá que esses grupos sempre estarão aparecendo em quatro (4) Grupos (bytes) compostos de dois (2) Grupos de bits (nibles), no final terá o mesmo efeito descrito neste Projeto DNA do N*. Para minimizar os esforços em separar os grupinhos de quatro (4) bits (nible), sabendo que um agrupamento de oito (8) bits corresponde a um (1) byte (Binary Term), optei pela segunda opção porque otimiza a identificação dos grupos.

Abaixo as provas matemáticas para as quatro (4) Bases do DNA em forma de bytes e bytes invertidos:

Seguindo a lógica matemática acima, temos abaixo as provas matemáticas para os quatro (8) nibles, cada uma das quatro (4) Bases do DNA do N* têm dois (2) nibles, se reparar em gráficos os nibles se conectam somente em situações distintas, assim sendo é um erro considera-los separadamente. O espelhamento pode levar o matemático a erro de identificação da localização do bit dentro do infinito Conjunto dos Números Naturais Positivos N*. Para os peritos em criptografia o uso de nibles elevaria o valor do identificador de sequência, fato que não ocorre com o uso de bytes.