Дослідження закону розподілу випадкових велечин

сторінка від 08.09.2022

Законом розподілу випадкової величини є будь-яка форма відповідності між значеннями цієї величини та імовірностями появи цих значень.

Закон розподілу може бути поданий як таблиця (табл.1.1) чи багатокутник розподілу(рис.1.1), а також за допомогою функцій розподілу ймовірностей F(x)та щільності розподілу ймовірностей f(x).

При упорядкуванні таблиці розподілу звичайно формують варіаційний ряд, тобто розташовують дані в порядку зростання. Таким чином, у наведеній таблиці дотримані співвідношення

Ряд розподілу можна описати і графічно. По осі абсцис відкладають значення випадкової величини, а по осі ординат - відповідні їм імовірності, точки з'єднують відрізками прямих ліній.

Отримана фігура називається багатокутником розподілу

Таблиця та багатокутник розподілу використовуються для випадкових дискретних величин. Найбільш загальною формою подання закону розподілу неперервних і дискретних випадкових величин є функція розподілу. Функція розподілу, F(x) - це ймовірність того, що випадкова величина Xнабуде значення, меншого за задане дійсне число x, тобто

Імовірність попадання випадкової величини в інтервал [a,b] дорівнює різниці значень функції розподілу на кінцях цього інтервалу:

Функцією щільності розподілу ймовірностей, f (x) є перша похідна від інтегральної функції F(x), тобто f(x) = F`(x) . Вона існує тільки для випадкових неперервних величин.

Розглянемо декілька найбільш поширених стандартних законів розподілу. Для дискретних величин: - біномний, він має місце тоді, коли проводиться N незалежних дослідів, кожен з яких закінчується або успіхом, або невдачею (тобто може бути два взаємовиключаючих результати). Імовірність успіху дорівнює P, а невдачі – q=1-P. Значенням x випадкової величини Х в такому випадку є кількість успіхів у серії з N дослідів, тобто Х може мати тільки цілі додатні значення від 0 до N: X [0,N]. Імовірність появи конкретного значення X=x визначається так:

- пуассонівський, цьому закону може підпорядковуватися випадкова величина, яка, як і в попередньому випадку, приймає цілі значення, а саме X [0,N], імовірність появи конкретного значення Х=х визначається так:

Ця формула використовується тоді, коли N велике, а ймовірність появи події у окремому досліді (тобто Р) незначна.

Для неперервних величин:

- нормальний, найбільш поширений серед величин, що характеризуютьтехнологічні процеси хімічної промисловості. Функція щільності розподілу ймовірностей цього закону має вигляд