ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ

Грани правильного многогранника могут быть либо равносторонними треугольниками, либо квадратами, либо правильными пятиугольниками. Действительно, угол правильного n-угольника при n≥6 не меньше 120°. С другой стороны, при каждой вершине многогранника должно быть не менее трех плоских углов. Поэтому если бы существовал правильный многогранник, у которого грани – правильные n-угольники при n≥6, то сумма плоских углов при каждой вершине такого многогранника была бы не меньше чем 120°·3=360°. Но это невозможно, так как сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше 360° .

По этой же причине каждая вершина правильного многогранника может быть вершиной либо трех, четырех или пяти равносторонних треугольников, либо трех квадратов, либо трех правильных пятиугольников. Других возможностей нет.

Поэтому правильных многогранников только 5: тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, гексаэдр, додекаэдр.