Перерізи

Опорний конспект

 Перерізом опуклого багатогранника є опуклий плоскийбагатокутник. Його вершини є точками перетину січної площини з ребрамибагатогранника, а сторони – відрізками, по яких січна площина перетинає гранібагатогранника.

Діагональний переріз – це переріз призми площиною, якапроходить через два бічних ребра, які не належать одній грані.

Площина перерізу має спільнупряму з площиною кожної грані багатогранника.

Слід січної площини – це пряма, по якій січна площинаперетинає площину якої-небудь грані багатогранника. Січна площина має стількислідів, скільки площин граней вона перетинає.

Суть методу слідів полягає в:

1)   побудові ліній перетину (слідів) січноїплощини з площиною грані;

2)   знаходження точок перетину січноїплощини з ребрами багатогранника;

3)   побудова перерізу.

Побудова перерізу піраміди зводиться до побудовипрямих, які є прямими перетину даної січної площини з площинами січних гранейпіраміди.

Діагональний переріз піраміди – цепереріз піраміди площиною, яка проходить через два несусідніх ребра піраміди.

Метод слідів 

Слідом називають пряму перетину площини перерізу і площиниякої-небудь грані многогранника. Щоб побудувати слід, достатньо знати дві йоготочки, тобто точки, які одночасно лежать в січній площині і площині  даної грані. Якщо слід побудований, товідрізок (PQ), по якому він перетинається з площиною ,дає сторону перетину, яка лежить у цій площині. Але ще важливіше те, що кожнаточка його перетину зі стороною грані або її продовженням лежить і в площинііншої грані; наприклад, точка P (намал. 1) лежить в бічній грані ABSпіраміди, точка U - в площині грані BCS і т.д.

Мал. 1

Оскільки ці точки, як і весь слід, лежать також і вплощині перетину, ми отримуємо принаймні одну точку перетину в кожній з граней,суміжних з .Використовуючи інші відомі з умови або попередньої побудови точки перетину, якілежать в цих гранях, будуємо слід у новій грані і т. д.

Цих міркувань досить для побудови перетину пірамідиабо призми по двох точках в площині основи і одній на бічній поверхні. Увипадку призм можна додатково використовувати і те, що сторони перерізу, якіналежать основам, паралельні.

Але не завжди дані завдання дозволяють відразупровести слід в площині основи піраміди або призми. В цьому випадку побудовасліду, точніше, будь-яких двох його точок, стає першим кроком рішення. Основнийелементом цієї побудови - знаходження точки, в якій пряма перетинає площину.

Розглянемо приклад (мал.2), в якому потрібнопобудувати лінію перетину площини, що проходить через точки K, L,M, задані на бічній поверхні призми, з її основою. Спочатку будуємопроекції K', L', M' даних точок на площину основи (вданому випадку взяті паралельні проекції вздовж бічних ребер призми). Будь-якідві з точок K, L, M лежать в одній площині з своїмипроекціями. Значить, пряма, що сполучає ці точки, перетинається в просторі, зпрямою, яка з’єднує їх проекції,(або названі прямі паралельні). На малюнку 2побудовані точки P і Q перетину прямих KL і K'L', LM і L'M'.Очевидно, що ці точки і є точками перетину прямих KL і LM з площиною основипризми, а пряма PQ - слід площиниперетину KLM на площині основи.

Легко зрозуміти, що якщо одна з прямих KL і LM виявиться паралельною своїй проекції, то і слід будепаралельний цій прямій.

Практично так само вирішуються аналогічні завданнядля пірамід, тільки замість паралельної проекції треба розглянути центральну (зцентром у вершині піраміди). Порівняєте побудови на малюнках 2 і 3.

Тепер можна сформулювати алгоритм побудови перетинів призм і пірамід трьоматочками (методом слідів):

Ø      Крок 1. Будуємо проекції K', L', M' данихточок K, L, M на площину основи (паралельно бічним ребраму разі призм та з вершини піраміди як з центру проекції у разі пірамід); цюплощину називають основною. Якщо якісь з даних точок належать основнійплощині, їх проекції, звичайно, будувати не треба.

Ø      Крок 2. Перетинаючи прямі (KL, LM, MK),що сполучають дані точки, з їх проекціями, знаходимо точки перетину цих прямихз основною площиною. Пряма, що проходить через них є слідом перетину на основі.Щоб її провести, досить знайти хоч би дві її точки.

Ø      Крок 3. Знаходимо точки перетину сліду із сторонами основиабо їх продовженнями. Використовуючи ці точки і ті з даних точок, які лежать набічній поверхні многогранника, послідовно знаходимо вершини перетину на бічнихребрах (як показано в прикладі), а у випадку призми і на сторонах другоїоснови.

Рис.4

У останньому випадку всі задані точки можутьпотрапити на основи (мал.4); тоді слід на одній з основ (пряма LM намалюнку) будується безпосередньо, а на іншому проводиться паралельно першому. Врезультаті отримуємо точки (U і V) на бічних гранях і далі діємо, як вище.