Nous nous intéressons ici à la hiérarchie cumulative des Vα et aux applications qu'elle offre dans le domaine de la théorie des ensembles.

A la section 1 on définit récursivement les Vα pour tout ordinal α. On note V la collection de tous les ensembles qui appartiennent au moins à un Vα. On obtient ainsi une définition formelle de la notion d'ensemble pur, pour laquelle on n'avait pu donner qu'une approche naïve au Chapitre 5 : un ensemble x est pur ssi il existe un ordinal α tel que x∈Vα. On définit le rang d'un ensemble pur comme le plus petit ordinal α tel que x∈Vα+1 . On donne ensuite quelques résultats sur les Vα , dont la plupart sont basés sur les propriétés de la fonction rang, puis on indique au passage la place des objets mathématiques usuels dans la hiérarchie cumulative, et on explique rapidement que l'essentiel de l'édifice mathématique (hors théorie des ensembles) peut être reformalisé dans Vω+ω . Se pose alors de façon naturelle la question suivante : tout ensemble est-il pur ?

A la section 2 on introduit l'axiome de fondation AF, dont on donne quelques conséquences immédiates. On montre ensuite que l'axiome de fondation est équivalent à l'assertion : tout ensemble est pur, et on termine par une discussion philosophique sur le statut de AF en mathématiques.

La section 3 est consacrée aux cardinaux généralisés. La problématique est la suivante : pour éviter de parler de classes cardinales, comment définir une fonctionnelle Card de domaine 𝓤 (l'univers) de telle façon que pour tous ensembles x,y on ait Card(x)=Card(y) ssi x et y sont équipotents. On a vu au Chapitre 12 que ceci était réalisable en présence de AC. On voit ici qu'il est encore possible d'atteindre cet objectif en l'absence de AC mais en présence de AF. Ceci nous conduit à la définition des cardinaux généralisés, dont on donne quelques propriétés élémentaires, constatant ainsi que les cardinaux généralisés sont d'une souplesse de manipulation bien moindre que les cardinaux usuels. On aborde enfin très rapidement le problème de la cardinalité dans le cas général (en l'absence à la fois de AC et de AF).

A la section 4, même si ce n'est pas absolument indispensable pour faire des mathématiques, on décide d'incorporer définitivement AF à notre théorie fondationnelle. On note ZFC le système obtenu en ajoutant l'axiome de fondation à ZFC*, et on donne au passage une variante de ZFC, obtenue en ôtant le schéma de remplacement et en y mettant un schéma d'axiomes voisin, appelé le schéma de collection.

Enfin, la section 5 est consacrée au schéma de réflexion, qui n'est valable que dans le système ZFC complet. On commence par dire un mot de la notion d'absoluité, qui fera l'objet d'une étude approfondie au Chapitre 17. On énonce ensuite le schéma de réflexion, dont on explique en quoi il s'agit d'un résultat d'absoluité, et on termine par la preuve du schéma de réflexion.

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