5.5. GRADIANTE DE POTENCIAL

Si se conoce el campo (E) en varios puntos, esta ecuación se puede utilizar para calcular as diferencias de potencial.

Podemos determinar el E a partir del potencial en varios puntos. Considerando que V es función de las coordenadas (x, y, z) de un punto en el espacio, se demostrará que las componentes de E se relacionan directamente con las derivadas parciales de V con respecto a x, y, z.

dV es el cambio infinitesimal del potencial que acompaña a un elemento infinitesimal dl de la trayectoria de a a b.

Comparamos las dos ecuaciones anteriores y obtenemos que:

Estas dos integrales deben ser iguales para cualquier par de límites a y b, y para que esto se cumpla los integrados deben ser iguales. Por lo tanto, para cualquier desplazamiento infinitesimal dl,

Para interpretar esta expresión, se escribe E y dl en términos de sus componentes:

por lo tanto;

Las componentes y y z de se relacionan con las derivadas correspondientes de V en la misma forma, por lo que se tiene

Esto es congruente con las unidades de campo eléctrico, V/m. En términos de vectores unitarios, E se escribe como

entonces;