Embedded Files
- CARGA PUNTUAL DENTRO DE UNA SUPERFICIE ESFÉRICA
La ley de Gauss establece que el flujo eléctrico total a través de cualquier superficie cerrada (una superficie que encierra un volumen definido) es proporcional a la carga eléctrica total (neta) dentro de la superficie.
Las líneas de campo se extienden en forma radial hacia fuera en todas direcciones por igual. Colocamos esta carga en el centro de una superficie esférica imaginaria con radio R. La magnitud E del campo eléctrico en cada punto de la superficie está dada por:
El flujo eléctrico total es el producto de la magnitud del campo E por el área total A = 4piR^2 de la esfera;
El flujo es independiente del radio R de la esfera; sólo depende de la carga q encerrada por la esfera.
La figura muestra dos esferas de radios R y 2R centradas en la carga puntual q. Cada línea de campo que pasa a través de la esfera más pequeña también cruza la esfera más grande, por lo que el flujo total a través de cada esfera es el mismo.
Lo que se cumple para toda la esfera también se cumple para cualquier región de su superficie. En la figura, sobre la esfera de radio R, está resaltada un área dA que se proyecta sobre la esfera de radio 2R con líneas que van del centro y que pasan por puntos sobre la frontera de dA. El área proyectada sobre la esfera mayor es evidentemente 4 dA. Pero como el campo eléctrico debido a una carga puntual es inversamente proporcional a r^2, la magnitud del campo sobre la esfera de radio 2R es de 1/4 la magnitud sobre la esfera de radio R. Así, el flujo eléctrico es el mismo para las dos áreas e independiente del radio de la esfera.
- CARGA PUNTUAL DENTRO DE UNA SUPERFICIE NO ESFÉRICA
En la imagen tenemos una esfera de radio R circundada por una superficie irregular en lugar de otra esfera mayor.
Vamos a considerar en este caso una pequeña porción de esta superficie, la cual llamaremos dA; esta área es mayor al área de una supuesta esfera a la misma distancia de q. Si una normal a dA forma un ángulo con una línea radial que sale de q, dos lados del área proyectada sobre la superficie esférica se ven disminuidos en un factor cos del angulo (figura b). Los otros dos lados permanecen sin cambio. De esta forma, el flujo eléctrico a través del elemento de superficie esférica es igual al flujo E dA cosf a través del correspondiente elemento de superficie irregular. Se puede dividir toda la superficie irregular en elementos dA, calcular para cada uno de ellos el flujo eléctrico E.dA.cos del angulo, y sumar los resultados por integración.
Cada uno de los elementos de área se proyecta sobre un elemento de superficie esférica correspondiente. Así, el flujo eléctrico total que atraviesa la superficie irregular, debe ser el mismo que el flujo total a través de una esfera, el cual es igual a:
Si la carga puntual en la figura es negativa, el campo está dirigido en forma radial hacia dentro; en ese caso, el ángulo f es mayor de 90°, su coseno es negativo y la integral en la ecuación es negativa. Pero como q también es negativa, la ecuación se cumple.
Ecuación de una superficie irregular que no encierra carga:
Ecuación de una superficie irregular que no encierra carga:
Éste enunciado matemático que indica que cuando una región no contiene carga, cualquier línea de campo producida por una carga afuera de la región y que entran por un lado han de salir por el otro. La figura ilustra este punto. Las líneas de campo eléctrico comienzan o terminan dentro de una región del espacio sólo cuando en esa región existe carga.
- FORMA GENERAL DE LA LEY DE GAUSS
El flujo eléctrico total a través de una superficie cerrada es igual a la carga eléctrica total (neta) dentro de la superficie, dividida entre ε0.
RECORDATORIO: La superficie cerrada a que se refiere la ley de Gauss es imaginaria; no es necesario que haya un objeto material en la posición de la superficie. A menudo se hace referencia a la superficie cerrada que se menciona en la ley de Gauss como superficie gaussiana.
APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS
APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS
- CARGAS EN CONDUCTORES
Estudiamos que el campo eléctrico dentro de un conductor en cada punto es igual a cero. Pero ¿Qué pasa si en el conductor hay una cavidad?
Si no hay carga dentro de la cavidad se puede utilizar una superficie gaussiana, (que está por completo dentro del material) para demostrar que la carga neta en la superficie de la cavidad debe ser igual a cero, ya que el campo eléctrico es igual a cero (E = 0) en todo lugar de la superficie gaussiana.
A) CONDUCTOR SOLIDO CON CARGA qc
A) CONDUCTOR SOLIDO CON CARGA qc
La carga qc reside por completo en la superficie del conductor. La situación es electrostática, por lo que el campo es igual a cero dentro del conductor.
B) EL MISMO CONDUCTOR CON UNA CAVIDAD INTERNA
B) EL MISMO CONDUCTOR CON UNA CAVIDAD INTERNA
Como el E=0 en todos los puntos dentro del conductor, el campo eléctrico debe ser igual a cero en todos los puntos de la superficie gaussiana.
C) SE COLOCA EN LA CAVIDAD UNA CARGA AISLADA q
C) SE COLOCA EN LA CAVIDAD UNA CARGA AISLADA q
Para que el campo sea igual a cero en todos los puntos de la superficie gaussiana, la superficie de la cavidad debe tener una carga total de -q.
- CAMPO EN LA SUPERFICIE DE UN CONDUCTOR
El campo inmediatamente afuera de un conductor con carga es perpendicular a la superficie, y su componente perpendicular es igual a σ/ε .
El campo inmediatamente afuera de un conductor con carga es perpendicular a la superficie, y su componente perpendicular es igual a σ/ε .
Para encontrar una relación entre la densidad superficial de carga (σ) en cualquier punto de la superficie y la componente perpendicular de campo eléctrico en ese punto se construye una superficie gaussiana en forma de cilindro.
La cara de uno de los extremos con área A, queda dentro del conductor y la otra cara con área A queda fuera. El campo (E) es cero en todos los pintos dentro del conductor. El campo (E) en las paredes del cilindro es igual a cero.
Si σ es positiva, el campo eléctrico apunta hacia afuera y el E perpendicular es positivo.
Si σ es negativa, el campo apunta hacia adentro y el E perpendicular es negativo.
El flujo eléctrico total a través de la superficie es E perpendicular por área (A).
La carga encerrada es σA y en la ley de Gauss nos queda;
- OBSERVACIÓN: La ecuación anterior es el mismo resultado que obtenemos para el campo entre dos placas infinitas de signos opuestos.
EJEMPLOS
EJEMPLOS
Page updated
Google Sites
Report abuse