Скарбничка завдань ІІ етапу районних олімпіад з математики

Числа та числові послідовності

• Натуральні та цілі числа. Розклад на множники, найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне (основні теореми).
• Подільність та ділення з остачею (теореми Евкліда, Ферма, Лагранжа, Вільсона, китайська теорема про остачі).
• Теорія порівнянь в задачах на подільність.

Рівняння в цілих числах.

• Раціональні та ірраціональні числа.
• Множина раціональних чисел, щільність множини раціональних чисел. Способи доведення ірраціональності числа.
• Алгебраїчні та трансцендентні числа, їх властивості.
• Числові послідовності. Прогресії. Рекурентні послідовності (послідовність чисел Фібоначі).
• Рекурентні послідовності та функціональні рівняння.

Многочлени від однієї та двох змінних

• Многочлени від однієї змінної. Дії над многочленами, звітні та незвітні многочлени. Корені многочлена (теореми Безу, Вієта, схема Горнера). Різні методи розкладання на множники.
• Раціональні рівняння вищих степенів та основні методи їх розв’язування (метод Кардано та Феррарі). Використання властивостей функцій при розв’язуванні раціональних рівнянь.
• Многочлени від двох змінних. Стандартний вигляд многочлену від декількох змінних; симетричні й однорідні многочлени.
• Використання властивостей симетричних і однорідних многочленів до доведення нерівностей та розв’язування деяких алгебраїчних рівнянь. Геометричний зміст рівняння з двома та трьома змінними, розв’язування нерівностей з двома змінними.

Системи рівнянь та основні методи їх розв’язування, в тому числі такі, як: метод Гауса, Крамера, оберненої матриці.

Функції та їх графіки

• Побудова графіків функцій без застосування похідної.
• Побудова складених функцій. Арифметичні дії над графіками функцій. Основні характеристики функцій. Періодичні функції, основні теореми про періодичність. Оборотність функції; взаємообернені функції.

Функціональні рівняння

РОЗРОБКА 1

РОЗРОБКА 2

Адитивні функції та функціональні рівняння для лінійної, показникової та логарифмічної функцій.

• Границя функції за Коші, за Гейне. Основні теореми про границі. Нескінченно малі та великі функції в точці, їх зв’язок. Теореми Больцано-Коші та їх використання.
• Похідна і розклад на множники многочленна. Похідна у доведенні нерівностей та тотожностей. Похідна та сумування послідовностей. Похідна та порівняння чисел.
• Нестандартні рівняння і нерівності.

Геометрія

• Методи розв’язання планіметричних задач: основні геометричні факти і теореми. Опорні планіметричні задачі.
• Основні геометричні прийоми і методи розв’язування задач: додаткові побудови, геометричні перетворення, метод подібності, метод площ, метод допоміжного кола, метод перерізу.
• Різновиди аналітичних методів розв’язування геометричних задач: метод поетапного розв’язування; метод складання рівнянь; метод координат; векторний метод.
• Вибрані задачі та теореми планіметрії. Теореми Стюарта, Чеви і Менелая. Афінні задачі.
• Геометричні нерівності, задачі на доведення, задачі на оптимізацію.
• Стереометричні задачі та методи їх розв’язування. Спеціальні методи розв’язування стереометричних задач: метод перерізів, метод проекції, добудова, розгортка.
• Вектори у просторі, використання до розв’язування задач.

Різне

• Принцип крайнього. Найменший чи найбільший кут. Найменша та найбільша відстані та площа.
• Принцип Діріхле.
• Скінченна кількість точок, прямих, площин.
• Подільність, інваріантність, розфарбування.
• Парність та непарність в задачах геометрії.
• Подільність в задачах геометрії.
• Інваріант. Напівінваріант.
• Допоміжні розфарбування як метод розв’язування геометричних задач на конструкцію та ігри.
• Розгляд гіпотез та нерозв’язаних проблем з теорії розфарбувань.
• Системи точок і відрізків, індукція і комбінаторика. Індукція. Комбінаторна геометрія.
• Графи. Ейлерові графи.

Математична індукція

Системи рівнянь

Нестандартні рівняння і нерівності