10 - 11 класи

Скарбничка завдань ІІ етапу районних олімпіад з математики

Натуральні та цілі числа. Розклад на множники, найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне (основні теореми).
Подільність та ділення з остачею (теореми Евкліда, Ферма, Лагранжа, Вільсона, китайська теорема про остачі).
Теорія порівнянь в задачах на подільність.

Раціональні та ірраціональні числа.
Множина раціональних чисел, щільність множини раціональних чисел. Способи доведення ірраціональності числа.
Алгебраїчні та трансцендентні числа, їх властивості.
Числові послідовності. Прогресії. Рекурентні послідовності (послідовність чисел Фібоначі).
Рекурентні послідовності та функціональні рівняння.

Многочлени від однієї змінної. Дії над многочленами, звітні та незвітні многочлени. Корені многочлена (теореми Безу, Вієта, схема Горнера). Різні методи розкладання на множники.
Раціональні рівняння вищих степенів та основні методи їх розв’язування (метод Кардано та Феррарі). Використання властивостей функцій при розв’язуванні раціональних рівнянь.
Многочлени від двох змінних. Стандартний вигляд многочлену від декількох змінних; симетричні й однорідні многочлени.
Використання властивостей симетричних і однорідних многочленів до доведення нерівностей та розв’язування деяких алгебраїчних рівнянь. Геометричний зміст рівняння з двома та трьома змінними, розв’язування нерівностей з двома змінними.

Побудова графіків функцій без застосування похідної.
Побудова складених функцій. Арифметичні дії над графіками функцій. Основні характеристики функцій. Періодичні функції, основні теореми про періодичність. Оборотність функції; взаємообернені функції.

Границя функції за Коші, за Гейне. Основні теореми про границі. Нескінченно малі та великі функції в точці, їх зв’язок. Теореми Больцано-Коші та їх використання.
Похідна і розклад на множники многочленна. Похідна у доведенні нерівностей та тотожностей. Похідна та сумування послідовностей. Похідна та порівняння чисел.
Нестандартні рівняння і нерівності.

Методи розв’язання планіметричних задач: основні геометричні факти і теореми. Опорні планіметричні задачі.
Основні геометричні прийоми і методи розв’язування задач: додаткові побудови, геометричні перетворення, метод подібності, метод площ, метод допоміжного кола, метод перерізу.
Різновиди аналітичних методів розв’язування геометричних задач: метод поетапного розв’язування; метод складання рівнянь; метод координат; векторний метод.
Вибрані задачі та теореми планіметрії. Теореми Стюарта, Чеви і Менелая. Афінні задачі.
Геометричні нерівності, задачі на доведення, задачі на оптимізацію.
Стереометричні задачі та методи їх розв’язування. Спеціальні методи розв’язування стереометричних задач: метод перерізів, метод проекції, добудова, розгортка.
Вектори у просторі, використання до розв’язування задач.

Принцип крайнього. Найменший чи найбільший кут. Найменша та найбільша відстані та площа.
Принцип Діріхле.
Скінченна кількість точок, прямих, площин.
Подільність, інваріантність, розфарбування.
Парність та непарність в задачах геометрії.
Подільність в задачах геометрії.
Інваріант. Напівінваріант.
Допоміжні розфарбування як метод розв’язування геометричних задач на конструкцію та ігри.
Розгляд гіпотез та нерозв’язаних проблем з теорії розфарбувань.
Системи точок і відрізків, індукція і комбінаторика. Індукція. Комбінаторна геометрія.
Графи. Ейлерові графи.