量子コンピューティング

が qubit と呼ばれる計算の最小の単位となります。

ちなみにαとβ は複素数で、αα*+ββ*=1 （絶対の2乗の和が 1）を満たします。

さてイジング模型を量子コンピューターに載せてみましょう。

特にイジング模型のスピンは2方向しかとらないため、量子計算とはとても相性が良く計算しやすいです。

以下の内容は Quantum Native Dojo の内容を参考にしています。

ちなみに考えるイジング模型は横磁場イジング模型と呼ばれるものです（量子イジング模型とも）。

（横磁場の無い場合で基底状態を時間発展で求めるは意外と難しいため。ここ 参照）

以下では適当な状態を時間発展させるコードを書いてみましょう。

まず、回路を設定するため、

q  = QuantumRegister(n, "q")    ← 量子レジスター

c  = ClassicalRegister(n, "c")  ← 古典レジスター

qc = QuantumCircuit(q, c)       ← 量子と古典レジスターで計算のための回路を用意

とします。講義で習った（と思いますが）論理演算と似ていますね。

実際、計算の根幹に量子力学を使っている事が違うくらいです。

q が qubit を意味しているので、試しに0番目のものを重ね合わせ状態にしてみましょう。

具体的には、

qc.h(q[0])

で、h は Hadamard gateを意味します（Hadamard  gate は基本ゲートの一つ）。

さて単純に時間発展させる事は難しいので、時間発展演算子を鈴木-トロッター分解しましょう。

つまり、

unit_ZZ(qc, q[k], q[(k+1)%(n)], delta)

unit_X (qc, q[k], h*delta)

を繰り返し演算させ、時間発展（ユニタリー発展）させます。

これは、単純に時間発展させようとすると 2^n の行列が必要となることに起因します（n は qubit の数）。

つまりこの分解をしないと計算がとても難しくなるということです。

delta は時間の刻み幅で、量子回路はそれぞれ、

def unit_ZZ(qc, q0, q1, k):

    qc.cx( q0, q1)

    qc.rz(2*k, q1)

    qc.cx( q0, q1)

def unit_X(qc, q0, h):

    qc.rx(2*h, q0)

と定義されています。これを input の状態に作用させて分配関数を計算していくわけですね。

cx や rz、rx がどのようなゲートかは qiskit のページを確認して下さい（翻訳ページだと例えば ここ）。

さて、状態をユニタリー発展させていき最後に "観測" を行って終状態を確定（古典的に）させます。

具体的には下のコードの qc.measure(q[j], c[j]) の部分です。

もちろん量子計算なので全く同じ様に計算しても、最後結果は一意ではなく分布をなします。

そのため、shot数に対する統計和を取る必要があります。

以上の事をプログラムしてみましょう。

単純な一次元イジング模型は面白くないので、横磁場まで入れたイジング模型を考えます。

実際のコードでは、まず必要なライブラリをインポートしましょう：

import math

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

import matplotlib as mpl

import time

from tqdm import tqdm

from qiskit import QuantumRegister, ClassicalRegister, QuantumCircuit

from qiskit import BasicAer, execute

from qiskit.tools.visualization import plot_histogram

次に状態を勘定する際に必要なルーチンを書いておきます。

以下は（digit_sum 部分）は少しわかりにくいので、測定のところまで理解した後に読んでください）：

def digit_sum(n):

    digit_str = str(n)

    sum = 0

    for i in range(len(digit_str)):

        sum += int(digit_str[i])

    return sum

イジング模型を計算する際に必要なイジングゲートを定義します：

def unit_ZZ(qc, q0, q1, k):

    qc.cx( q0, q1)

    qc.rz(2*k, q1)

    qc.cx( q0, q1)

def unit_X(qc, q0, h):

    qc.rx(2*h, q0)

計算で必要な格子のサイト数や時間の刻み幅などを定義します：

n  = 6

nt = 100

x_time = 3.0

delta = x_time/nt

h = 3.0

試しにサイト数を6、時間発展の刻みを 100 にしています。

実際に計算する部分です：

shots = 200000

backend = BasicAer.get_backend("qasm_simulator")

x = []; y = []

for i in tqdm(range(1,nt+1)):

    x.append(delta*i)

    q  = QuantumRegister(n, "q")

    c  = ClassicalRegister(n, "c")

    qc = QuantumCircuit(q, c)

    for j in range(1,i+1):

        for k in range(n):

            unit_ZZ(qc, q[k], q[(k+1)%(n)], delta)

            unit_X (qc, q[k], h*delta)

    for j in range(n):

        qc.measure(q[j], c[j])        

    job = execute(qc, backend=backend, shots=shots)

    result = job.result()

    counts = result.get_counts()

    M = 0

    for digit, count in counts.items():

        M += (1-2*digit_sum(digit)/n)*count/shots

    y.append(M)

    time.sleep(0.1)

plt.plot(x,y, "-")

plt.show()

となります。（注意：n 個の qubit を用意したいので、(n, "q") という書き方を上ではしています）

意外と短いですね。

実際に動かしながら各部分がどの様な意味を持っているのか考えてみてください。

ちなみに上記コードは最初 |000000> の状態から始め、どの様に時間発展していくかを計算してプロットします。

実行すると、