Selon une nouvelle définition mathématique, les nombres entiers naturels se divisent en deux ensembles dont l’un est la fusion de la suite des nombres premiers et des nombres zéro et un. Trois autres définitions, déduites de cette première, subdivisent l’ensemble des nombres entiers naturels en quatre classes de nombres aux propriétés arithmétiques propres et uniques. La distribution géométrique de ces différents types d’entiers naturels, dans de diverses matrices fermées, s’organise en ratios exacts de valeur 3/2 ou 1/1.
Les nombres ultimes et le ratio 3/2 (partie 2)
Les quatre classes de nombres entiers naturels
La ségrégation des nombres entiers naturels en deux ensembles d’entités qualifiés d’ultimes et de non ultimes n’est qu’une première étape dans l’investigation de ce type de nombres. Ici est faite une plus ample exploration de cet ensemble de nombres dévoilant sont organisation en quatre sous ensembles d’entités aux propriétés propres mais interactives et aussi le double concept de diviseur ultime et d’algèbre ultime.
Depuis la définition des nombres ultimes, il est possible de différencier l’ensemble des nombres entiers naturels en quatre classes finales, déduites de trois classes sources et progressivement définies selon ces critères :
Les nombres entiers naturels se subdivisent en ces deux catégories :
- les ultimes : Un nombre ultime n’admet aucun diviseur non trivial (nombre entier naturel) lui étant inférieur.
les 10 premiers ultimes :
0 1 2 3 5 7 11 13 17 19
- les non ultimes : Un nombre non ultime admet au moins un diviseur non trivial (nombre entier naturel) lui étant inférieur.
les 10 premiers non ultimes :
4 6 8 9 10 12 14 15 16 18
Les nombres non ultimes se subdivisent en ces deux catégories :
- les élevés : Un nombre élevé est un nombre non ultime, puissance d’un nombre ultime.
les 10 premiers élevés :
4 8 9 16 25 27 32 49 64 81
- les composés : Un nombre composé est un nombre non ultime et non élevé admettant au moins deux différents diviseurs.
les 10 premiers composés :
6 10 12 14 15 18 20 21 22 24
Les nombres composés se subdivisent en ces deux catégories :
- les composés purs : un nombre composé pur est un nombre non ultime et non élevé n’admettant aucun nombre élevé pour diviseur.
les 10 premiers composés purs :
6 10 14 15 21 22 26 30 33 34
- les composés mixtes : un nombre composé mixte est un nombre non ultime et non élevé admettant au moins un nombre élevé pour diviseur.
les 10 premiers composés mixtes :
12 18 20 24 28 36 40 44 45 48
Le tableau figure 37 synthétise ces différentes définitions. Il est plus amplement développé figure 38 où les interactions des quatre classes d’entiers naturels sont mises en évidences.
Diviseur ultime
La distinction des nombres entiers naturels en différentes classes déduites depuis la définition des nombres ultimes permet de proposer le double concept de diviseur ultime et d’algèbre ultime.
Diviseur ultime : définition
Un diviseur ultime d’un nombre entier naturel est un nombre ultime inférieur à cet entier naturel et diviseur non trivial de ce nombre entier naturel.
Par exemple le nombre 12 possède six diviseurs, les nombres 1, 2, 3, 4, 6 et 12 mais seulement deux diviseurs ultimes : 2 et 3. Aussi, les nombres zéro (0) et un (1), bien que nombres définis comme ultimes, ne sont jamais des diviseurs ultimes. Pour rappel, la division par zéro (0) n’est pas définie et donc ce nombre n’est pas diviseur ultime. Le nombre un (1) est diviseur trivial, il ne divise pas un nombre en partie plus petite.
Concept d’algèbre ultime
L’algèbre ultime ne s’applique qu’à l’ensemble des entiers naturels et s’organise, d’une part, autour de la définition de diviseur ultime (précédemment introduite), d’autre part autour de la définition de nombre ultime (précédemment introduite). Cette algèbre stipule que tout nombre entier naturel est soit un nombre ultime n’ayant aucun diviseur ultime, soit un nombre non ultime (pouvant être soit un élevé, soit un composé pur, soit un composé mixte) se décomposant en plusieurs diviseurs ultimes. Dans cette algèbre, aucun nombre entier naturel x ne peux s’écrire sous la forme x = x × 1 mais seulement sous la forme x = x (ultime) ou sous la forme x = y × y × … (élevé) ou x = y × z × … (composé) ou encore x = ( y × y × …) × z ×… (mixte). Aussi dans cette algèbre, il n’est pas permis d’écrire par exemple 0 = 0 × y × z × … mais seulement 0 = 0.
Spécificités des nombres zéro et un
De par ces postulats proposant un concept d’algèbre ultime, il est convenu et rappelé que bien que définis comme nombres ultimes, les nombres zéro (0) et un (1) ne sont ni diviseurs ultimes, ni composés de diviseurs ultimes.
Diviseurs ultimes et classes de nombres
Le tableau figure 38 synthétise les quatre définitions interactives des quatre classes d’entiers naturels en y intégrant le double concept de diviseur ultime et d’algèbre ultime. Il est aussi suggéré ici de nommer u un nombre ultime, e un élevé, c un composé pur et m un nombre composé mixte.
Les quatre classes d’entiers naturels
Ainsi, vient d’être proposé ici la classification de l’ensemble de nombres entiers naturels en quatre classes de nombres :
- les nombres ultimes dénommés ultimes (u),
- les nombres élevés dénommés élevés (e),
- les nombres composés purs dénommés composés (c),
- les nombres composés mixtes dénommés mixtes (m).
Ainsi, est-il convenu que l’appellation "ultimes" désigne les nombres ultimes (comme "premiers" désigne les nombres premiers). De même, est-il convenu que l’appellation "élevés" désigne les nombres élevés, l’appellation "composés" désigne les nombres composés purs et l’appellation "mixtes" désigne les nombres composés mixtes.
Ci-dessous, figure 39, une illustration pratique des concepts de nombres ultimes, de diviseurs ultimes et d’algèbre ultime est développée avec pour exemple les nombres ultimes 2 et 3 (u et u’), diviseurs ultimes des non ultimes 4, 6 et 12 (e, c et m).
Les quarante nombres primordiaux
Classes de nombres et ratio 3/2
La progressive différenciation des classes sources et des classes finales des nombres entiers naturels s’organise (figure 40) en un puissant arrangement arithmétique générant de transcendants ratios de valeur 3/2. Ainsi, l’ensemble source des entiers naturels comprend, parmi ses dix premiers nombres, 6 nombres ultimes contre 4 nombres non ultimes. L’ensemble source suivant, celui des non ultimes, comprend, parmi ses dix premiers nombres, 4 nombres élevés contre 6 nombres composés. Enfin, l’ensemble source des composés comprend, parmi ses dix premiers nombres, 6 composés purs contre 4 composés mixtes.
Une très forte intrication lie tous ces ensembles de nombres qui s’opposent de multiples manières en ratios de valeur 3/2 (ou réversiblement de ratios 2/3). Par exemple, les 6 premiers ultimes (0-1-2-3-5-7) s’opposent simultanément aux 4 non ultimes (4-6-8-9) parmi le 10 premiers entiers naturels, aux 4 élevés des 10 premiers non ultimes (4-8-9-16) et aux 4 ultimes situés au-delà des 10 premiers nombres entiers naturels (11-13-17-19).
Cette intriquée classification des nombres entiers naturels permet de définir (figure 40) un ensemble de quarante nombres primordiaux. Ces quarante nombres primordiaux sont l’ensemble des dix premiers nombres de chacune des quatre classes finales des nombres entiers naturels.
Il est convenu que l’appellation " primordiaux " désigne ces quarante nombres primordiaux.
Matrice des cent premiers nombres et nombres primordiaux
Dans la matrice des 100 premiers nombres entiers naturels et dans un ratio de 3/2, 60 nombres non primordiaux s’opposent donc aux 40 primordiaux précédemment définis figure 40. La différenciation de position des 40 primordiaux génère de singuliers phénomènes de ratio 3/2 selon les différentes zones considérées de 60 contre 40 entités ou de 50 contre 50 entités.
Ainsi, dans cette matrice, il s’avère, figure 41, que la distinction de deux sous matrices de deux fois 3 colonnes contre deux fois 2 colonnes génère des ensembles de nombres primordiaux et de nombres non primordiaux qui s’opposent en ratios 3/2 transcendants de 36 contre 24 entités et de 24 contre 16 entités.
Dans les sous matrices d’égales grandeurs et alternativement constituées des quarts supérieurs et inférieurs de la matrice complète des cent premiers nombres telles qu’illustrées figure 42, les 60 nombres non primordiaux se répartissent en valeurs de quantités égales et ces ensembles de deux fois 30 non primordiaux s’opposent en ratios de valeur 3/2 au 40 primordiaux aussi distribués en deux ensembles égaux de 20 entités.
Un redéploiement de la matrice des cent premiers nombres introduite figure 40 en quatre rangées de 25 entités génère encore un phénomène remarquable dans la distinction des 40 primordiaux et des 60 non primordiaux. Cette matrice, de même type que celle présentée chapitre 7 figure 31, est aussi liée à l’identité remarquable (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 où a et b ont les valeurs 3 et 2.
En regroupant symétriquement et depuis leur centre ces quatre rangées de nombres, tel que, depuis ce centre vers la bordure de cette nouvelle matrice, l’on isole quatre fois 9 + 6 valeurs puis quatre fois 6 + 4 entités comme illustré figure 43, se forment deux sous matrices de 60 contre 40 nombres. Dans ces deux sous matrices de ratio 3/2, les non primordiaux et les primordiaux se répartissent aussi en ensembles de nombres qui s’opposent en ratios 3/2 transcendants de 36 contre 24 entités et de 24 contre 16 entités.
Sous matrices linéaires de soixante et quarante nombres
Dans la sous matrice de 60 entités constituée alternativement des six premiers nombres puis des six derniers nombres de chacune des dix lignes de la matrice des cent premiers nombres introduite figure 40, les nombres non primordiaux et primordiaux s’opposent, partie gauche de la figure 44, en deux ensembles de ratio de valeur 3/2 et ces ensembles s’opposent eux-mêmes aux deux ensembles réciproques de la sous matrice complémentaire de 40 entités en ratios transcendants de valeur 3/2.
Aussi, se produisent exactement les mêmes phénomènes dans et entre les deux sous matrices, de 60 contre 40 entités où l’alternance des nombres considérés s’applique de deux à deux lignes telle qu’illustrée en partie droite de la figure 44.
Matrices concentriques et excentriques
Dans cette matrice des cent premiers nombres, des arrangements plus sophistiqués et identiques aux configurations introduites chapitre 4 figure 13 opposent ici des ensembles de nombres non primordiaux et primordiaux en exacts ratios 3/2. Ainsi, comme décrit partie gauche de la figure 45, cinq zones concentriques s’opposent, trois contre deux, dans la répartition de leur nombres non primordiaux et primordiaux en ratios 3/2. Le même phénomène se reproduit en considérant les cinq zones excentriques présentées en partie droite de cette figure 45.
Aussi, dans des configurations identiques à celles introduites chapitre 4 figure 14, en mixant, ces sous matrices de 40 et 60 entités (présentées figure 45) et après les avoir chacune scindées verticalement en deux parties égales de 30 et 20 entités, obtient-on, figure 46, de nouvelles matrices de 50 entités chacune. Dans ces configurations mixtes, les non primordiaux et les primordiaux se répartissent en exact ratios de valeur 1/1 avec toujours 30 non primordiaux contre 30 et toujours 20 non primordiaux contre 20.
Il est important de souligner ici la totale similarité de ces phénomènes arithmétiques avec ceux opérant dans les sous matrices introduites chapitre 4.2 où les données sources (tableau d’additions croisées des vingt fondamentaux) sont pourtant totalement différentes.
Diviseurs ultimes et matrice des cent premiers nombres.
Dans la matrice des cent premiers nombres entiers naturels, 27 sont des nombres ultimes et 73 des non ultimes. Les tableaux de la figure 47 démontre que ces 73 non ultimes sont des compositions de 15 différents diviseurs ultimes (nombres ultimes de 2 à 47) et situent leur première apparition au sein de cette matrice. Par exemple, le diviseur ultime 5 apparaît la première fois comme diviseur ultime du non ultime 10. En partie droite de la figure 47 est fait le décompte de la totalité des diviseurs ultimes composant individuellement ces 73 non ultimes.
Pour rappel (voir chapitre 8.2), les nombres ultimes ne sont pas composés de diviseurs ultimes et les nombres zéro (0) et un (1) ne sont ni diviseurs ultimes, ni composés de diviseurs ultimes.
Quinze diviseurs ultimes et matrice des cent premiers nombres
Ces quinze diviseurs ultimes se regroupent, figure 48, en trois ensembles dont la taille croît régulièrement selon qu’ils composent plus ou moins de catégories de nombres (classes). Parmi ces quinze diviseurs ultimes, 4 se trouvent être diviseurs des trois classes de nombres non ultimes (les élevés, les composés et les mixtes). Puis 5 ne sont diviseurs que de deux classes (les composés et les mixtes) et enfin 6 diviseurs ultimes ne le sont que d’une classe de nombre, celle des composés. Aussi, dans un ratio de 3/2, 9 diviseurs ultimes (de 2 à 23) composant plus d’une classe de nombres s’opposent à 6 diviseurs (de 29 à 47) n’en composant qu’une seule.
Comme le démontre le tableau droit de la figure 47, l’ensemble des cent premiers nombres (déduit des 27 ultimes n’en étant pas composés) totalisent 210 diviseurs ultimes. Cette valeur permet l’apparition de ratios 3/2 et effectivement, dans plusieurs configurations symétriques opposant, dans un ratio de 3/2, des matrices de 60 et 40 nombres, ces diviseurs ultimes s’opposent aussi en un ratio de 3/2 avec respectivement pour chaque double matrice, 126 diviseurs ultimes contre 84 (3 fois 42 contre 2 fois 42).
Diviseurs ultimes et matrice linéaire
Figure 49, dans une réorganisation de la matrice des cent premiers nombres en quatre lignes de 25 entités (→ 25 = 32 + (3 × 2) + (2 × 3) + 22 , voir chapitre 7.1.1), les 210 diviseurs ultimes s’opposent en un ratio de 3/2 dans deux matrices symétriquement opposées de 60 contre 40 entités avec, respectivement dans chaque matrice, 126 contre 84 diviseurs ultimes.
Sous matrices symétriques
A l’intérieur de sous matrices symétriques constituées de 10 micro zones de 6 contre 4 entités, telles celles figure 50, les quantités de diviseurs ultimes constituant les cent premiers nombres s’opposent en ratios de valeurs 3/2 avec respectivement 126 diviseurs ultimes en sous matrices de 60 entités contre 84 diviseurs ultimes en sous matrices de 40 entités.
Première apparition des quinze diviseurs ultimes
Dans ces deux mêmes doubles sous matrices géométriquement symétriques, il s’avère, figure 51, que la première apparition des quinze diviseurs ultimes (voir figure 47) s’organise aussi en un parfait ratio de valeur 3/2 avec neuf premières apparitions en sous matrices de 60 nombres contre six premières apparitions en sous matrices de 40 nombres.
