Les nombres ultimes et le ratio 3/2

Jean-Yves BOULAY

Considérant l’ensemble des nombres entiers naturels, ceux-ci s’organisent en deux ensembles : les nombres ultimes et les nombres non ultimes.

Définition des nombres ultimes :

Un nombre ultime n’admet aucun diviseur non trivial (nombre entier naturel) lui étant inférieur.

Définition des nombres non ultimes :

Un nombre non ultime admet au moins un diviseur non trivial (nombre entier naturel) lui étant inférieur.

Autres définitions :

Soit n un nombre entier naturel (appartenant à ℕ), celui-ci est ultime si aucun diviseur (nombre entier naturel) inférieur à sa valeur et autre que 1 ne le divise.

Soit n un nombre entier naturel (appartenant à ℕ), celui-ci est non ultime si au moins un diviseur (nombre entier naturel) inférieur à sa valeur et autre que 1 le divise.

Les dix premiers nombres ultimes et dix premiers nombres non ultimes

Considérant la double définition précédente, la suite des nombres ultimes s’initialise par ces dix nombres :

0 1 2 3 5 7 11 13 17 19

Considérant la double définition précédente, la suite des nombres non ultimes s’initialise par ces dix nombres :

4 6 8 9 10 12 14 15 16 18

Développement

Ci-dessous sont listés, pour illustration de définition, quelques-uns des premiers nombres ultimes ou non ultimes définis plus haut, notamment les nombres particuliers zéro (0) et un (1).

- 0 est ultime : bien qu’il admette une quantité infinie de diviseurs lui étant supérieurs, puisqu’il est le premier nombre entier naturel, le nombre 0 n’admet aucun diviseur lui étant inférieur.

- 1 est ultime : puisque la division par 0 n’a pas de résultat défini, le nombre 1 n’admet aucun diviseur (nombre entier naturel) lui étant inférieur.

- 2 est ultime : puisque la division par 0 n’a pas de résultat défini, le nombre 2 n’admet aucun diviseur* lui étant inférieur.

- 4 est non ultime : le nombre 4 admet le nombre 2 (nombre lui étant inférieur) pour diviseur*.

- 6 est non ultime : le nombre 6 admet les nombres 2 et 3 (nombres lui étant inférieurs) pour diviseurs*.

- 7 est ultime : puisque la division par 0 n’a pas de résultat défini, le nombre 7 n’admet aucun diviseur* lui étant inférieur. Les diviseurs non triviaux 2, 3, 4, 5 et 6, ne peuvent le diviser en nombres entiers naturels.

- 12 est non ultime : le nombre 12 admet les nombres 2, 3, 4 et 6 (nombres lui étant inférieurs) pour diviseurs*.

Ainsi, par ces précédentes définitions, l’ensemble des nombres entiers naturels s’organise en ces deux entités :

- l’ensemble des nombres ultimes, qui est la fusion de la suite des nombres premiers et des nombres 0 et 1.

- l’ensemble de nombres non ultimes s’identifiant à la suite des nombres non premiers, déduite des nombres 0 et 1.

*diviseur non trivial.

Introduction

Cette étude investit l’ensemble des nombres* entiers naturels et propose une définition mathématique permettant d’intégrer le nombre zéro (0) et le nombre un (1) à la suite des nombres dits premiers. Cet ensemble est nommé l’ensemble des nombres ultimes. L’étude de nombreuses matrices de nombres comme, par exemple, le tableau des additions croisées des dix chiffres nombres (de 0 à 9) met en évidence une organisation arithmétique et géographique non aléatoire de ces nombres ultimes. Il apparaît en outre que cette distinction des nombres ultimes et non ultimes (comme aussi d’autres distinctions proposées de différentes classes de nombres entiers naturels) est intimement liée au système décimal, notamment et principalement par une opposition quasi systématique des entités en un ratio de 3/2. Ce ratio ne peut en effet se manifester qu’en présence de multiples de cinq (10/2) entités. Aussi, c’est à l’intérieur de matrices de dix fois dix nombres que sont faîtes la majorité des démonstrations validant une opposition d’entités en divers ratios de valeur 3/2 ou/et de valeur 1/1.

* Dans les énoncés, lorsque ceci n’est pas spécifié, le terme "nombre" sous-entend toujours "nombre entier naturel". Aussi est-il convenu que le nombre zéro (0) est bien intégré à l’ensemble des nombres entiers naturels.

Les nombres ultimes et le système décimal

Il s’avère que le dixième nombre ultime est le nombre 19, nombre situé à la vingtième place dans la suite des entiers naturels. Cette particularité lie indéniablement les nombres ultimes et le système décimal. Ainsi les vingt premiers nombres (deux fois dix nombres) s’organisent en différents ratios 1/1 et 3/2 selon leurs différents attributs.

De par la nature du système décimal, comme l’illustre la figure 1, les dix chiffres nombres (chiffres confondus comme nombres) s’opposent au dix premiers non chiffres nombres par un ratio de 1/1. Aussi, se trouve t-il exactement le même nombre d’ultimes et de non ultimes parmi ces vingt nombres, soit dix entités de chaque catégorie. Dans un double ratio de valeur 3/2, six ultimes contre quatre se trouvent parmi les dix chiffres nombres et six non ultimes contre quatre se trouvent parmi les dix premiers non chiffres nombres.

Comme exposé figure 2, il est aussi possible de décrire ce phénomène arithmétique par croisement des critères. Ainsi, les dix premiers ultimes s’opposent au dix non ultimes par un ratio de valeur 1/1. Aussi, se trouve t-il exactement le même nombre de chiffres nombres et de non chiffres nombres parmi ces vingt nombres. Dans un double ratio de 3/2, six chiffres nombres contre quatre se trouvent parmi les dix ultimes et six non chiffres nombres contre quatre se trouvent parmi les dix premiers non ultimes.

Les vingt nombres fondamentaux

La suite des nombres entiers naturels s’initialise donc par vingt nombres aux caractéristiques symétriquement et asymétriquement complémentaires de ratios 1/1 et 3/2 réversibles. Cette intrication transcendante des vingt premiers nombres selon leur nature ultime ou non ultime (nombres ultimes ou nombres non ultimes) et selon leur nature digitale ou non digitale (chiffres nombres ou non chiffres nombres) permet, par convention, de les qualifier de nombres fondamentaux parmi l’ensemble des entiers naturels. La figure 3 décrit la totale intrication de ces vingt nombres fondamentaux.

Ainsi, l’ensemble des vingt premiers nombres entiers naturels est simultanément constitué d’un ensemble de vingt entités dont dix nombres ultimes et dix nombres non ultimes et d’un (même) ensemble de vingt entités dont dix chiffres nombres (10 digitaux) et dix non chiffres nombres (non digitaux). Aussi, chacun de ces quatre sous ensembles intriqués de dix entités aux propriétés propres s’opposant deux à deux en ratio de valeur 1/1 est composé de deux sous ensembles s’opposant en ratio de valeur 3/2 selon les propriétés mixtes de ses composants. Cet ensemble des vingt premiers nombres est défini comme l’ensemble des nombres fondamentaux parmi les entiers naturels.

Les trente nombres initiaux

Aussi, selon la considération progressive de trois ensembles de 10, de 20 puis de 30 entités (les trente premiers nombres entiers naturels), le ratio entre les nombres ultimes et non ultimes progresse de 3/2 (10 nombres) à 1/1 (20 nombres) puis bascule à 2/3 (30 nombres). Ainsi (figure 4), selon que l’on considère les dix premiers, les vingt premiers puis les trente premiers entiers naturels, 6 ultimes s’opposent à 4 non ultimes, puis 10 ultimes s’opposent à 10 non ultimes puis enfin 12 ultimes s’opposent à 18 non ultimes. Au delà de ce triple ensemble, aucune organisation semblable de groupes (consécutifs) de dix entités ne s’opère. Ces trente nombres sont donc ici qualifiés d’initiaux parmi l’ensemble des entiers naturels.

Matrice d’additions des dix chiffres nombres

Le tableau figure 5 représente la matrice des cent différentes sommes possibles des additions (croisées) des dix chiffres nombres (de 0 à 9) du système décimal (soit les dix premiers nombres entiers naturels). A l’intérieur de ce tableau s’opèrent de multiples phénomènes arithmétiques singuliers selon la nature ultime ou non ultime des valeurs de ces cent sommes et de leur distribution géographique dont principalement divers ratios de valeur 3/2 souvent transcendants.

Soixante contre quarante nombres : ratio 3/2

Parmi ces cent valeurs, se trouvent 40 nombres ultimes (5x → x = 8) et consécutivement 60 non ultimes (5y → y = 12). Ces deux ensembles s’opposent donc en un ratio exact de valeur 2/3.

Aussi, les quantités des valeurs égales à un nombre ultime décroissent régulièrement de 6 entités (n) à 3 de la première colonne à la dixième. Cette décroissance se singularise par un double phénomène arithmétique : la première colonne, qui représente les additions des dix chiffres nombres avec le premier de ceux-ci (0), totalisent donc un nombre de valeur unique de 6 ultimes (n) ; les deux colonnes suivantes totalisent deux mêmes nombres d’ultimes et ce nombre (5) est juste inférieur d’une unité à celui de la première colonne d’addition ; les trois colonnes suivantes totalisent trois mêmes nombres (4) inférieurs d’une unité aux deux colonnes précédentes puis enfin, les quatre colonnes finales poursuivent et clôturent ce régulier arrangement arithmétique avec quatre mêmes valeurs de nombres non ultimes (3) aussi inférieurs d’une unité aux trois colonnes précédentes. Le même arrangement arithmétique s’observe pour le décompte des valeurs égales à un nombre non ultime mais dans un sens croissant des valeurs des nombres non ultimes décomptés et avec un nombre source (4) égal à 2n/3. De par la nature de ce tableau croisé, le même phénomène s’opère naturellement de ligne en ligne.

Dans cette matrice, les colonnes d’additions se regroupent donc par une, deux, trois puis quatre entités arithmétiques. Aussi, depuis la valeur n (6 ultimes en première colonne d’additions), la somme totale d’ultimes est obtenue par cette formule :

n + 2(n - 1) + 3(n - 2) + 4(n - 3)

La somme totale de non ultimes est obtenue par cette autre formule :

(2n/3) + 2((2n/3) + 1) + 3((2n/3) + 2) + 4((2n/3) + 3)

Ce phénomène est directement en relation avec le système décimal s’organisant depuis dix entités : la valeur 10 est en effet égale à la somme de quatre progressives valeurs : 1 + 2 + 3 + 4 = 10.

Vingt-quatre contre seize ultimes : ratio 3/2

Parmi les 50 sommes égales à l’addition des 10 chiffres nombres (de 0 à 9) avec les 5 premiers chiffres nombres (de 0 à 4), se trouvent 24 nombres ultimes et parmi les 50 sommes égales à l’addition des 10 chiffres nombres (de 0 à 9) avec les 5 derniers chiffre nombres (de 5 à 9), se trouvent 16 nombres ultimes. Ces deux groupes s’opposent donc (figure 6) dans un ratio de 3/2.

Parmi les 40 sommes égales à un nombre ultime, 24 correspondent (figure 7) à un chiffre nombre du système décimal (de 0 à 9) et 16 à un nombre supérieur à 9 (le dernier chiffre nombre du système décimal).

Configurations à doubles ratios 3/2 transcendants

En scindant symétriquement la matrice d’addition des dix chiffres nombres en deux sous matrices de 60 entités externes contre 40 entités internes, telles que présentées partie gauche de la figure 8, il apparaît que les nombres non ultimes et les nombres ultimes s’opposent toujours en différents ensembles de ratios de valeur 3/2 selon leurs natures identiques ou opposées. Ceci se vérifie donc tant à l’intérieur des deux sous matrices que transversalement à ces deux sous matrices.

Aussi, les mêmes phénomènes s’observent en considérant deux sous matrices de 60 entités internes contre 40 entités externes telles que présentées en partie droite de la figure 8. Enfin, se produisent encore les même phénomènes en considérant deux sous matrices de 60 entités géographiquement situées nord-ouest et de 40 entités géographiquement situées sud-est telles que présentées figure 9.

Matrice d’additions des vingt nombres fondamentaux

La matrice de 100 nombres (figure 10) des additions des dix chiffres nombres et des dix suivants, soit celle des vingt nombres fondamentaux, génère 70 non ultimes (5x → x = 14) et 30 ultimes (5y → y = 6). Ces deux catégories de nombres ne se distribuent pas au hasard dans cette matrice mais en arrangements arithmétique singuliers. Ainsi, les deux premières colonnes d’additions totalisent chacune 6 non ultimes et 4 ultimes ; les deux dernières totalisent chacune 8 non ultimes et 2 ultimes. Les six colonnes centrales totalisent toutes les mêmes valeurs de 7 et 3 nombres respectivement non ultimes et ultimes. L’ensemble de ces six colonnes centrales opposent donc, en ratios 3/2, leur quantité de nombres non ultimes et ultimes à l’ensemble des quatre colonnes périphériques avec respectivement 42 contre 28 non ultimes et 18 contre 12 ultimes.

Sous matrices de soixante et quarante nombres

Dans la matrice d’additions des vingt nombres fondamentaux (de cent sommes) deux sous matrices opposent, partie gauche de la figure 11, leurs quantités de non ultimes réciproques et leurs quantités d’ultimes réciproques en ratios de valeur 3/2. Ces sous matrices de 60 contre 40 nombres sont elles mêmes chacune composées de deux sous zones aux nombres d’entités s’opposant en ratios de 3/2 : sous matrice de 36 + 24 entités et sous matrice de 24 + 16 entités. Cet arrangement arithmétique est une variante géométrique de l’identité remarquable (a+b)² = a² +2ab +b² où a et b ont ici les valeurs 6 et 4, valeurs s’opposant en le ratio 3/2. Cette identité remarquable sera plus largement investiguée chapitre 7.1 où des phénomènes très singuliers sont présentés.

Cette configuration oppose les 3/5èmes supérieurs des six colonnes centrales de la matrice et les 3/5èmes inférieurs des quatre colonnes périphériques aux 2/5èmes réciproques des colonnes considérées. Aussi, en partie droite de la figure 11, la configuration miroir verticale à cet arrangement génère les mêmes oppositions en ratios 3/2 des nombres non ultimes réciproques et des nombres ultimes réciproques de ces autres sous matrices de 60 et 40 entités.

Aussi, en mixant, figure 12, les sous matrices de 40 et 60 entités présentées figure 11 et après les avoir chacune scindées verticalement en deux parties égales de 30 et 20 entités, obtient-on de nouvelles matrices de 50 entités chacune. Dans ces configurations miroir horizontales, les non ultimes et les ultimes se répartissent en exact ratios de valeur 1/1 avec toujours 35 non ultimes contre 35 et toujours 15 ultimes contre 15. Aussi, par ce réarrangement géométrique, en plus d’être de configurations miroir horizontales, les configurations gauche deviennent miroir verticales des configurations droites et réciproquement.

Matrices concentriques et excentriques

Dans cette matrice des cent additions des vingt fondamentaux, des arrangements plus sophistiqués opposent encore les nombres ultimes et les nombres non ultimes en exacts ratios 3/2. Ainsi, comme décrit partie gauche de la figure 13, cinq zones concentriques s’opposent, trois contre deux, dans la répartition de leur nombres ultimes et de leur nombres non ultimes en ratios 3/2. Le même phénomène se reproduit en considérant les cinq zones excentriques présentées en partie droite de la figure 13. L’excentricité de ces cinq zones est en asymétrie totale en rapport aux cinq zones concentriques initiales. Cependant, comme il en est fait la démonstration figure 15, les mêmes quantités d’ultimes (et de non ultimes) se répartissent dans les zones concentriques ou excentriques de même taille. Ces cinq anneaux concentriques (ou excentriques) sont de tailles dont les valeurs respectives augmentent régulièrement selon cet arithmétique où x = 1 :

4x → 4(x+2) → 4(x+4) → 4(x+6) → 4(x+8)

Cet arithmétique permet, en relation avec le système décimal et par l’intercalement des anneaux incorporés, la constitution de sous matrices s’opposant, en taille, et en catégorie de nombres, en ratios de valeurs 3/2.

Aussi, en mixant, figure 14, les sous matrices de 40 et 60 entités présentées figure 13 et après les avoir chacune scindées verticalement en deux parties égales de 30 et 20 entités, obtient-on de nouvelles matrices de 50 entités chacune. Dans ces configurations mixtes, les non ultimes et les ultimes se répartissent en exact ratios de valeur 1/1 avec toujours 35 non ultimes contre 35 et toujours 15 ultimes contre 15. Ces ré-assemblages sont exactement de même type que ceux proposés figure 12.

Progressions arithmétiques

D’autres agencements, comme l’exemple figure 15, de trois contre deux zones concentriques ou trois contre deux zones excentriques génèrent les mêmes phénomènes arithmétiques de ratio 3/2 entre les quantités d’ultimes respectifs de ces ensembles de zones. Ce phénomène est directement en relation avec la régulière progression de la valeur des quantités d’ultimes de 2 à 10 selon la dimension des zones concentriques ou excentriques considérées.

Dans chacune des cinq zones concentriques de la matrice d’addition des vingt nombres fondamentaux, la quantité de nombres ultimes (x) est liée à la quantité totale de nombres (z) de cette zone par cette formule :

x² – (x - 2)² = z

Dans ces mêmes zones, la quantité de nombres non ultimes (y) est liée à la quantité de nombres ultimes (x) par cette formule :

x² – (x - 2)² – x = y

Ce phénomène reste identique pour les cinq zones symétriquement excentriques.

Matrice des cent premiers nombres

L’étude de la matrice des cent premiers nombres entiers naturels configurée en dix lignes de dix nombres classés de 0 à 99 révèle plusieurs phénomènes singuliers selon les différentes classifications considérées des entités qui la composent. Ces phénomènes seront introduits dans différents chapitres dont, pour débuter, ce chapitre distinguant les couples de nombres à ultimes de ceux sans ultimes.

Nombres ultimes et couples de nombres

Dans la matrice des cent premiers nombres, 25 couples de nombres adjacents incluant au moins un ultime s’opposent, dans un ratio exact de 1/1, à 25 autres couples n’en incluant aucun. Depuis le couple de nombres 0-1 vers le couple de nombres 98-99, ces 50 couples sont toujours formés de deux nombres consécutifs comme illustré figure 17. Bien que 27 nombres ultimes soient présents dans la suite des 100 premiers nombres, seul 25 couples intégrant au moins un ultime émergent dans cette matrice. Ceci est dû au fait que les quatre premiers nombres ultimes sont aussi les quatre premiers nombres entiers naturels et donc qu’ils soient consécutifs, le premier nombre non ultime (4) étant en cinquième position dans la suite des nombres. Aussi, seuls ces quatre ultimes sont consécutifs.

Deux fois vingt-cinq couples de nombres

Comme illustré figure 17, il s’avère que les 25 couples avec ultimes et les 25 couples sans ultimes s’opposent en ratios 3/2 transcendants selon qu’ils soient issus de la partie supérieure ou de la partie inférieure de la matrice des cent premiers nombres. Ainsi, parmi les 25 premiers couples, dans un ratio de 3/2, 15 sont constitués d’ultimes et 10 de non ultimes et parmi les 25 derniers couples, dans un ratio inverse de 2/3, 10 sont constitués d’ultimes et 15 de non ultimes.

Intrication des couples de nombres

Aussi, pour chacune des deux parties supérieures et inférieures de cette matrice, leur scission en deux ensembles de 3 et 2 lignes alternées telle qu’illustré figure 18 génère une multitude de phénomènes arithmétiques intriqués se traduisant toujours en ratios de valeur 3/2 ou de ratios opposés de valeur 2/3 simultanément selon la zone considérée et la nature du couple considéré (avec ou sans ultimes).

Sous matrices de trente contre vingt couples de nombres

Depuis la matrice des 50 premiers couples de nombres entiers naturels, dans les sous matrices constituées de cinq zones verticalement alternés de 3/5^ème de colonne (30 couples de nombres) tel que celles présentées figure 19 et dans les sous matrices complémentaires de cinq zones de 2/5^ème de colonne (20 couples), les quantités de couples à ultimes et celles des couples sans ultime restent d’égales valeurs et s’opposent en ratios 3/2 aux valeurs respectives des sous matrices complémentaires.

Aussi, toujours depuis cette même matrice de 50 couples de nombres, dans des sous matrices symétriques constituées de 10 zones de 3 couples de nombres contre 10 zones de 2 couples, telles qu’illustrées figure 20, les quantités de couples de nombres à ultimes et celles de couples sans ultime restent d’égales valeurs et s’opposent en ratios 3/2 aux valeurs respectives des sous matrices complémentaires.

L’existence de ces phénomènes arithmétiques singuliers présentés dans ce chapitre renforcent grandement l’argument principal de cette étude des nombres entiers naturels de fusionner les nombres spéciaux zéro (0) et un (1) et la suite des nombres premiers en la suite des nombres ultimes. Ces phénomènes disparaissent en effet totalement sans cette fusion.

*Remarque : Les configurations des deux types de sous matrices présentées dans les figures 19 et 20 s’inscrivent encore en variantes géométriques de l’identité remarquable (a + b)² = a² + 2ab + b² avec a et b de valeur respective 6 et 4 (pour des quantités d’entités de 36 + 24 et 24 + 16).

Les dix ultimes primordiaux

L’identification des dix premiers ultimes permet, en référence au système décimal, de les classifier de primordiaux. Cette notion de primordialité est développé chapitre 9.

Matrice d’additions des dix ultimes primordiaux

Les additions croisées des dix premiers ultimes génèrent, figure 21, une matrice de cent valeurs dont trente nombres ultimes (5x → x = 6). Aussi ces additions génèrent-elles trente chiffres nombres.

Dans cette matrice, il s’avère que ces deux notions d’ultimité et de digitalité s’inscrivent en ratios 3/2 enchevêtrés. Ainsi, parmi les 30 chiffres nombres générés, se trouvent 18 ultimes contre 12 non ultimes et parmi les 30 ultimes, 18 se trouvent être chiffres nombres et 12 non chiffres nombres. Aussi, il s’avère que l’ensemble de ces 30 nombres ultimes générés par ces additions des dix premiers ultimes primordiaux sont tous des nombres fondamentaux, notion introduite chapitre 2.5.

Sous matrices de soixante et quarante entités

Illustré partie gauche de la figure 22, depuis la matrice d’additions des dix premiers ultimes, dans deux sous matrices de 60 contre 40 entités, les ultimes comme les non ultimes, se répartissent en ratios 3/2 avec, dans l’une et l’autre sous matrice, 42 non ultimes contre 28 et 18 ultimes contre 12.

Ces sous matrices sont constituées de zones de quatre fois 9, de (deux fois) quatre fois 6 puis quatre fois 4 entités. Ces valeurs (9→6→6→4) s’opposent en ratios 3/2 transcendants comme il sera plus largement introduit au prochain chapitre 7. Un autre agencement tel que celui présenté en partie droite de la figure 22 génère les mêmes phénomènes. Ce dernier agencement très particulier des zones considérées de matrices de cent entités est plus largement explicité au prochain chapitre 7 et illustré figure 26.

6.3 Triangle de Pascal des dix ultimes primordiaux

Dans un triangle de Pascal généré depuis les dix premiers nombres ultimes (de 0 à 19), il apparaît que sur l’ensemble des 55 valeurs le constituant (5x → x = 11), se trouvent 33 ultimes contre 22 non ultimes. Ceci donc dans un exact ratio de valeur 3/2. Aussi, il s’avère dans ce triangle de Pascal illustré figure 23 que la distinction des colonnes impaires et paires génère encore un ratio de 3/2 dans ces deux sous ensemble de 30 et 25 entités avec respectivement 18 ultimes contre 12 non ultimes et 15 ultimes contre 10 non ultimes.

Suites de Fibonacci et nombres ultimes

Il vient d’être démontré dans les précédents chapitres, que les nombre ultimes (dont aussi les nombres zéro et un) se répartissent non aléatoirement dans des matrices plus ou moins complexes d’additions de types de nombres (chiffres nombres, fondamentaux, ultimes primordiaux, etc.) Ici, de bien plus sophistiqués arrangements de nombres vont encore faire la démonstration d’une remarquable organisation de ces nombres entiers naturels selon leur nature ultime ou non ultime.

Matrice des dix suites de Fibonacci

La création de dix suites de Fibonacci de dix nombres et dont les deux nombres initiaux sont, en première position, les dix premiers ultimes et en seconde position les nombres ultimes suivants respectifs à ces dix premiers génère une matrice de cent nombres aux propriétés remarquables en rapport à la différenciation de distribution des nombres ultimes ou non ultimes ainsi créés dans cette matrice.

Il apparaît, figure 24, dans cette matrice de cent entités, qu’exactement 50 nombres ultimes (5x → x = 10) s’opposent à 50 autres non ultimes. Aussi, l’ensemble des six suites centrales (soixante nombres) totalise-il aussi un ratio exact de 1/1 entre la quantité d’ultimes et de non ultimes et cet ensemble s’oppose, dans un parfait ratio de 3/2, à celui des quatre suites périphériques totalisant également les mêmes quantités d’ultimes et de non ultimes.

Quatre zones symétriques et identité remarquable

Une matrice de cent entités peut se subdiviser en quatre sous matrices (zones) de 25 entités. La valeur 25 est la première pouvant se subdiviser en quatre autres (9 + 6 + 6 + 4) générant un triple ratio de valeur 3/2. Comme illustré figure 25, la valeur 9 (3 × 3) s’oppose en ratio 3/2 à la valeur 6 (3 × 2) puis la valeur 6 (2 × 3) s’oppose à la valeur 4 (2 × 2). Ces quatre valeurs s’opposent elles-mêmes deux à deux en le ratio 15/10, extension du ratio 3/2. Cette démonstration arithmétique est une variante géométrique de l’identité remarquable (a + b)² = a² + 2ab + b² où a et b ont ici les valeurs 3 et 2, valeurs s’opposant en le ratio 3/2.

Dans cette matrice de cent entités, il est alors possible d’agencer symétriquement et asymétriquement ces quatre sous matrices en 16 zones de quatre fois (9 + 6 + 6 + 4) cases (valeurs) comme décrit en partie basse de la figure 25.

Aussi, depuis ces 16 zones (figure 25), dans cette matrice de cent entités, peut-on redéfinir quatre autres zones, schématiquement illustrées figure 26, dont une première de quatre fois neuf (36) entités, une seconde de quatre fois six (24) entités, une troisième d’à nouveau quatre fois six (24) entités puis une quatrième et dernière zone de quatre fois quatre (16) entités.

Dans la matrice des dix suites de Fibonacci introduite figure 24, il est remarquable de constater que les 50 nombres ultimes et les 50 non ultimes sont toujours répartis en quantités égales dans chacune de ces quatre dernières zones définies. Ces quatre zones sont toutes, et interactivement, dans un arrangement géométrique simultanément symétrique et asymétrique tel qu’introduit figure 25 et développé figure 27.

Aussi, de part leur particularités arithmétiques et géométriques, ces quatre zones s’agencent deux à deux, dans différentes configurations telles que celles présentées figure 28 pour générer des ensembles de nombres s’opposant toujours en le ratio 1/1 selon leur ultimité ou non ultimité et en ratio 3/2 selon leur distribution géographique.

Autre agencement de quatre zones

Depuis la matrice des dix suites de Fibonacci, un réagencement légèrement différent des quatre sous matrices de 25 entités génère de semblable phénomènes arithmétiques. Dans ce nouvel agencement présenté figure 29, les deux sous matrices supérieures et les deux inférieures sont jumelles, donc identiques. Ces deux doubles sous matrices s’inscrivent toujours dans l’identité remarquable (a+b)² = a² +2ab +b² où a et b ont les valeurs 3 et 2.

Depuis ces nouvelles sous matrices de 25 entités, le regroupement, figure 29, des zones d’égales configurations (zones de 9→6→6→4 entités) génère des ensembles où les nombres ultimes et les nombres non ultimes se retrouvent répartis encore en égales quantités. Ainsi ces ensembles s’opposent aussi en ratios 3/2 selon l’ultimité et la non ultimité de leurs composants.

Redéploiement de la matrice de Fibonacci

Un redéploiement de la matrice des dix suites de Fibonacci (introduite figure 24) en quatre rangées de vingt cinq entités génère encore un phénomène singulier de même nature et toujours lié à l’identité remarquable (a + b)² = a² + 2ab + b² où a et b ont les valeurs 3 et 2. Ici chaque ligne de 25 entités est scindée en sept zones symétriques où cette identité remarquable est ainsi redéployée :

→ (ab)² = b²/2 + ba/2 + ab/2 + a² + ab/2 + ba/2 + b²/2

Ainsi, les quantités d’entités respectives de ces sept zones sont les suivantes :

→ (3×2)² = 2 + 3 + 3 + 9 + 3 + 3 + 2

Cet arrangement particulier et donc le redéploiement de cette identité remarquable sera aussi opéré dans les figures 43 et 49 avec d’autres valeurs considérées.

En regroupant symétriquement et depuis leur centre ces quatre rangées de nombres, tel que, depuis ce centre vers la bordure de cette nouvelle matrice, l’on isole quatre fois 9 + 6 valeurs puis quatre fois 6 + 4 entités comme illustré figure 30, se forment deux sous matrices de 60 contre 40 nombres. Dans ces deux sous matrices de ratio 3/2, les 50 ultimes et les 50 non ultimes se répartissent aussi en égales quantités et ainsi, chacune de ces deux catégories de nombres s’opposent en ratios 3/2 dans l’une et l’autre sous matrice.

Matrice de cinq suites de Fibonacci

La création de cinq suite de Fibonacci de dix nombres et dont les deux nombres initiaux sont les deux premiers chiffres nombres puis, successivement dans chaque suite, les deux suivants, génère une matrice de 50 entités dont très exactement 25 sont des nombres ultimes et 25 des non ultimes. Aussi, comme l’illustre la figure 32, ces deux catégories de nombres s’opposent en divers ratios 3/2 transcendants selon leur distribution géographique dans cette matrice.

Ainsi, dans les cinq premières colonnes de cette matrice, dans un ratio de 3/2, 15 ultimes s’opposent à 10 non ultimes et dans un ratio inverse, 10 ultimes s’opposent à 15 non ultimes dans les cinq dernières colonnes. Ces valeurs réciproques s’opposent elles-mêmes en ratios 3/2 et 2/3 croisés selon les zones géographiques considérées de cette matrice de cinq suite de Fibonacci initialisée depuis les dix chiffres nombres.

Aussi, dans des sous matrices de trente contre vingt entités telles que présentées figure 33, les ultimes et non ultimes se répartissent en égale quantité (ratio 1/1) et s’opposent aux composants de la matrice complémentaire en exacts ratios de 3/2.

Le même phénomène s’observe dans différentes configurations telles celles présentées figure 33 opposant des matrices de trente contre vingt entités.

Enfin, en isolant alternativement les six premiers nombres ou les six derniers de ces cinq suites de Fibonacci, tel qu’illustré figure 35, il s’avère que les nombres ultimes et non ultimes se répartissent encore en égales quantité et ces groupes de 15 entités s’opposent donc en exacts ratios de 3/2 aux ensembles de 10 ultimes et de 10 non ultimes des quatre dernières ou quatre premières entités alternativement isolées dans ces cinq suites.

Suite de Fibonacci et triangle de Pascal

Un triangle de Pascal initialisé avec les dix premiers résultats de la suite de Fibonacci, génère 55 valeurs dont, dans un exact ratio de 3/2, 33 non ultimes s’opposant à 22 ultimes. Aussi, il s’avère, dans ce triangle de Pascal illustré figure 36, que la distinction des lignes impaires et paires génère encore un ratio de 3/2 dans ces deux sous ensembles de 30 et 25 entités avec respectivement 18 non ultimes contre 12 ultimes et 15 non ultimes contre 10 ultimes. Cette configuration est très similaire à celle introduite figure 23 chapitre 6.3 concernant un triangle de Pascal initialisé avec les dix ultimes primordiaux.

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