Rebecca Abi Abdallah

Titre : Les écarts entre les sommes de deux carrés

Résumé : En théorie des nombres, les entiers pouvant s'écrire comme somme de deux carrés forment une suite aux propriétés arithmétiques et multiplicatives riches. On note s₁  < s₂  < ...  cette suite ordonnée de ces entiers. Si leur densité asymptotique globale est bien comprise grâce aux travaux de Landau, leur répartition locale, et particulièrement la taille des écarts successifs sₙ₊₁  - sₙ , reste difficile à estimer. Dans cette présentation, nous aborderons ce problème sous un angle probabiliste. Plutôt que de chercher à borner individuellement ces écarts, nous présenterons l’approche utilisée par Hooley, qui consiste à étudier les moments de ces derniers à l’aide d’une fonction de poids adaptée. Nous verrons comment la construction d’une telle fonction, imitant l’indicatrice des sommes de deux carrés, permet d’obtenir une borne supérieure optimale.