Ablanvi Songo

Titre : Théorème d'enlacement généralisé

Résumé : Après la parution de l'article de Antonio Ambrosetti et Paul Rabinowitz en 1973, dans lequel fut introduit le célèbre théorème du col de la montagne (mountain pass theorem), la théorie des points critiques a connu un développement considérable. Leur travail porte sur la recherche de points critiques d'une fonctionnelle de classe C¹, au moyen de la technique du min-max (ou minimax).

Par la suite, d'autres théorèmes du même type ont vu le jour, tels que le théorème du point-selle (saddle point theorem) et le théorème d'enlacement (linking theorem).

De nombreux problèmes elliptiques en théorie des EDP peuvent être résolus par l'application de ces résultats.  Cependant, lorsque la fonctionnelle associée au problème est fortement indéfinie — c'est-à-dire que sa partie quadratique possède à la fois une infinité de valeurs propres positives et une infinité de valeurs propres négatives — comme c'est le cas pour de nombreux problèmes d'intérêt, notamment certains systèmes elliptiques semi-linéaires couplés de type Poisson, ou encore l'équation des ondes non linéaire stationnaire, l'utilisation directe de ces théorèmes devient limitée.

Dans la littérature, on trouve néanmoins certains résultats permettant la résolution de ce type de situations. 

Dans cet exposé, je présenterai une généralisation du théorème d'enlacement adaptée aux fonctionnelles fortement indéfinies.