Повторюємо правила техніки безпеки при роботі в комп'ютерному класі. Перегляньте презентацію, виконайте вправу.

Система числення з основою N=2 є позиційною системою числення і нічим не відрізняється від позиційної система числення з будь-якою основою. Але для комп'ютера ця система числення має перевагу - її алфавіт має всього два символи. Тобто, для фіксації її символів достатньо мати деякий пристрій, що може мати два суттєво різних і стійких стани. Для зображення чисел у цій системі необхідно дві цифри: 0 і 1. Таким чином, будь-яке число в двійковій системі числення записується у вигляді комбінації нулів та одиниць. В двійковій системі числення будь-яке число може бути представлене послідовністю двійкових чисел.

Людині більш звична десяткова система, у якій відпрацьовані прийоми записування чисел по його імені, визначення імені по запису, визначення ваги числа по його запису й імені, відпрацьовані прийоми додавання, віднімання, множення й ділення будь-яких чисел. У двійковому записі числа важко одразу визначити його значення, немає поняття імені саме двійкового числа, важко зіставити ланцюжок 1 і 0 із його змістом. Таким чином виникає потреба перетворювати двійкові записи у десяткові і навпаки.

Приклади:

(5)₁₀ = (101)₂ = 1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰

(15)₁₀ = (1111)₂ = 1·2³ + 1·2² + 1·2¹ + 1·2⁰

У програмуванні вагоме місце займають вісімкова й шістнадцяткова системи числення, які використовуються для скороченого запису двійкових кодів.

У вісімковій системі числення в якості цифр використовують цифри: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. В шістнадцятковій системі потрібно 16 символів, в якості яких використовують арабські цифри і п'ять букв латинського алфавіту, що утворюють послідовність: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, C, D, E, F.

Приклади:

(75,67)₈ = 7·8¹ + 5·8⁰ + 6·8^-1 + 7·8^-2

(1FC,B)₁₆ = 1·16² + 15·16¹ + 12·16⁰ + 11·16^-1

Десяткові еквіваленти символів A, B, C, D, E, F:

A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15

Перетворення подання чисел із однієї системи числення в іншу

У комп’ютерах перетворення подання чисел із однієї системи числення в іншу здійснюється автоматично за допомогою спеціальних програм або електронних схем. Існують різні методи перетворення подання чисел.

Перший метод можна вважати універсальним, тобто придатним для цілих, дробових і мішаних чисел.

Нехай число А, у якому в цілій частині міститься n-розрядів, а в дробовій — т-розрядів, подано в системі числення з основою q.

Алгоритм перетворення подання числа в системі числення з основою q (А(q)) на подання цього числа в системі числення з основою р <А(р)).

Другий метод перетворення подання чисел із однієї системи числення в іншу називається методом ділення на основу. Він придатний ТІЛЬКИ ДЛЯ ЦІЛИХ чисел. Нехай ЦІЛЕ ЧИСЛО А(q) потрібно перевести в систему з основою р. Перетворення здійснюється за таким правилом.

Третій метод називається методом множення на основу. Він використовується лише для дробових чисел. Перетворення здійснюється за таким правилом.

Помножити число А на основу р, яка подана в системі числення з основою q. Отримаємо цілу частину й дріб. Дріб також множиться на основу р. Знову отримаємо цілу частину й дріб. Процес множення продовжується доти, доки дріб стане рівним нулю або меншим від числа, заданого як точність подання. Множення виконується в системі числення з основою q. Цифри, що відповідають цілим частинам чисел, які отримуються в процесі множення, і є цифрами числа А в системі з основою р.

Якщо основа першої системи числення є цілим степенем основи другої системи числення, то перетворення подання чисел між системами суттєво спрощується. Зокрема, такими системами є двійкова та шістнадцяткова системи числення (2⁴ = 16).

Приклад.

Число А(16) = 4Е5,СА у двійковій системі мас такий запис:

А(₂)= 10011100101,1100101.

Щоб записати двійкове число в шістнадцятковій системі числення, треба в його лівій частині ліворуч від коми й у дробовій частині праворуч від коми виокремити по 4 двійкових розряди і знайти їх подання в шістнадцятковій системі.

Приклад.

Число А(2) = 101010000101,11011 у шістнадцятковій системі має запис

А(16) = А85,D8.

Основні вимоги до технічної реалізації арифметичних операцій над числами - це простота електронних схем, мінімальні апаратні витрати, висока швидкість і надійність виконання операцій. Оскільки операції віднімання, множення й ділення фактично зводяться до виконання операції додавання, то технічно реалізувати таку задачу досить просто. Зокрема, вона реалізована в пристрої, який отримав назву АЛБ - арифметично-логічний блок. Використання такого блока для виконання обчислень призвело до необхідності розроблення спеціальних методів подання двійкових чисел.

Поширені три основних способи (коди) подання двійкових чисел. Далі користуватимемося такими назвами: прямий код (або значення зі знаком); зворотний код (або доповнення до одиниці); додатковий код (або додавання до двох). Для всіх перелічених способів крайній лівий розряд (старший розряд) у цілій частині числа дорівнює нулю для додатних чисел і одиниці - для від'ємних чисел. Надалі під час запису на папері знаковий розряд від інформативних відокремлюватимємо крапкою, а коди позначатимемо так: прямий — індексом пк, зворотний — індексом зк, додатковий — індексом дк, наприклад, Апк, А™, Адк. Додатні числа в усіх трьох кодах мають однакове зображення, від'ємні — різне.

Прямий код зазвичай використовується в процесі введення та виведення числових даних із комп'ютера, а також під час зберігання чисел у пам'яті комп'ютера.

У прямому коді числа подаються так само, як і в звичайній формі, лише замість знака "+" у знаковому розряді записується нуль, а замість знака "-" у цей розряд записується одиниця. Наприклад, двійкове число 10110,01 у прямому коді записується так: Апк= 0.10110,01, а від'ємне число -100011,101 - у такому вигляді: Апк = 1.100011,101. Число нуль у прямому коді має два зображення: 0.00...0,0...0 і 1.00...0,0...0.

Зауважемо, що знаковий розряд у прямому коді несе інформацію тільки про знак числа і не мас ніякого кількісного значення, тобто його вага дорівнює нулю.

Зворотний і додатковий коди позбавлені цього недоліку, тобто додавання та віднімання реалізується однією електронною схемою. Для цього перед виконанням операції віднімання знак числа, що віднімається, змінюється на протилежний. Наприклад, (А) — (В) = (А) + (-В); (А) - (-В )= (А) + (В ).

Для перетворення подання від'ємного числа із прямого коду в зворотний необхідно знаковий розряд залишити без зміни, а в кожному інформаційному розряді замінити одиниці на нулі, а нулі - на одиниці.

Додавання чисел у зворотному коді виконується за звичайним правилом додавання, а саме: додавання починається з молодших розрядів із врахуванням одиниць перенесення з розряду в розряд. Одиниця перенесення, яка виникає зі знакового розряду, переноситься в наймолодший розряд раніше отриманої суми і додається до неї.

Кількість розрядів чисел, які додаються, мас бути однаковою в обох числах. Вирівнювання кількості розрядів необхідно виконувати в прямому коді.