02.04.2021

Урок № 27 Розвязування задач на підбір параметра.

Розв’язування задач на підбір параметра

У багатьох задачах певний результат є відомим, а от значення параметрів, за яких цей результат досягається, — ні. Як приклад можна навести задачу, у якій потрібно визначити, через скільки годин скисне молоко або за якого обсягу випуску продукції фірма отримає прибуток у 1 000 000 грн. У математиці клас таких задач є найширшим. Це, зокрема, задачі на розв'язання алгебраїчних рівнянь та нерівностей або на пошук екстремумів.

У всіх подібних задачах використовується поняття цільової функції — вона має досягти певного значення або оптимізуватися (мінімізуватися чи максимізуватися). В електронній книзі формулу обчислення цільової функції записують у певну клітинку, яку також називають цільовою. Цільова функція залежить від параметрів (часто — від одного параметра), значення яких зберігаються в інших клітинках електронної таблиці.

Власне кажучи, задача полягає у підборі таких значень параметрів, за яких у цільовій клітинці буде отримано бажаний результат. У табличному процесорі Excel є спеціальні засоби, які автоматично підбирають потрібні значення у клітинках параметрів. Вони називаються Підбір параметра та Пошук розв'язків. Перший із них дозволяє отримати в цільовій клітинці певне значення, а другий — оптимізувати значення цільової функції.

Засіб Підбір параметра застосовують наступним чином:

1. В одну з клітинок електронної таблиці слід увести формулу цільової функції. Це буде цільова клітинка (на рис. 1 — клітинка В2).

2. Далі необхідно виконати команду Сервіс - Підбір параметра та заповнити поля у вікні, що відкриється:

● поле Установити у клітинці має містити адресу цільової клітинки;

● у поле Значення слід ввести значення, якого має набути цільова функція;

● у поле Змінюючи значення клітинки слід увести адресу клітин-ки-параметра.

Наприклад, на рис. 1 параметр міститиметься у клітинці В1, і якщо в цільовій клітинці В2 потрібно отримати значення 0, вікно Підбір параметра слід заповнити.

3. На завершення потрібно клацнути кнопку ОК. У цільовій клітинці буде відображено значення, якого має набувати цільова функція, а в клітинці параметра — шукане значення параметра.

Наприклад, на рис. 3 показано, як у клітинці В1 знайдено значення параметра (число 5), за якого цільова функція у клітинці В2 набуває значення 0. Тобто фактично розв'язано рівняння х - 5 = 0.

Примітка. Підбір параметра майже завжди дає наближені значення результату. Тому, якщо в клітинці параметра після його підбору виводиться число 4,99999, то, скоріш за все, справжнім розв'язком задачі є число 5. Використовуючи засіб Підбір параметра, клітинку параметра можна залишити порожньою, однак бажано попередньо визначити деяке початкове значення, адже від цього залежить швидкість отримання результату (особливо коли йдеться про складні цільові функції), а у деяких випадках і сам результат. Якщо цільова функція складна, може виникнути ситуація, коли не одне, а кілька значень параметра відповідають її шуканому значенню. Яке з них буде знайдено, залежить від початкового значення в клітинці параметра. У таких випадках, перш ніж підбирати параметр, доцільно побудувати графік цільової функції, щоб визначити початкове значення параметра наближено.

2. Робота в групі

Завдання 1. За допомогою засобу Підбір параметра розв'яжіть рівняння 4соs²x + 3х = 15.

Методичні вказівки:

1. У нашій задачі цільовою є функція f(x) = 4соs²x + 3х, а 15 — це значення, якому вона має дорівнювати.

2. Створіть нову електронну книгу. Цільовою вважатимемо клітинку А2 і припустимо, що значення параметра зберігається у клітинці А1. Уведіть у клітинку А2 формулу =4*СOS(А1)^2+3*А1.

2. Виконайте команду Сервіс - Підбір параметра, заповніть поля у вікні Підбір параметра і клацніть ОК.

У результаті у клітинці А1 (рис. 5) буде виведено значення змінної х, за якого функція набуває значення 15. Як видно з рис.5, знайдене вами значення є наближеним, оскільки отримано число 14,99956, а не 15.

3. Збережіть електронну книгу у файлі Завдання_1.xls.

4. Самостійно створіть таблицю значень функції f(x) = 4соs2x + 3х на інтервалі [0; 6] з кроком 0,5 та побудуйте за допомогою майстра діаграм графік цієї функції .

Щоб отримати згладжену лінію графіка, під час побудови діаграми необхідно вибрати нестандартний тип діаграми Гладкі графіки (рис. 7). Перевірте правильність підбору параметра, визначивши за графіком, коли приблизно значення цільової функції дорівнює 15.

Завдання 2. Необхідно визначити термін кредиту, за якого перший внесок (поле «Всього до сплати, грн.») становить 500 грн. (у таблиці на рис. 8 – 566.7); формули для розрахунку відображені.

Методичні рекомендації:

1. Втановіть курсор у комірку G2, активізуйте команди Сервіс - Підбір параметру.

2. З’явиться вікно, у якому в полі Встановити у комірці: уведіть адресу комірки, значення якої необхідно знайти; у полі Значення: – числове значення, яке потрібно знайти для активної комірки (G2); в полі Змінюючи значення у комірці: – адресу комірки С2, значення якої необхідно знайти та натисніть кнопку ОК.

3. Після цього виведеться результат виконання операції . Якщо розв’язання знайдено, то при активізації кнопки ОК нове значення залишається в комірці G2, а кнопки Відміна – відновлюється попереднє значення.

4. У результаті знайдений термін кредиту становить 28.6 місяця)

Отже, процедура підбору параметра дає змогу легко отримати потрібний результат, визначивши лише залежну комірку (або кілька комірок). Таку дію неможливо виконати власноруч, без використання цієї процедури.

Завдання 3. За допомогою табличного процесора розв’язати рівняння ln(x) = 10.

Методичні вказівки:

1. У комірку А1 введіть значення 10, а у комірку В1 уведіть формулу =Ln(A1) та натисніть клавішу Enter.

2. Виділіть комірку В1 та за допомогою меню Сервіс - Підбір параметру викличте вікно Підбір параметру. У цьому вікні задайте значення підбору параметрів Установити у комірці: – адресу комірки В1, де знаходиться формула і значення якої необхідно знайти, Значення: – значення 10 (праву частину рівняння), Змінюючи значення у комірці: – адресу комірки А1, значення якої буде змінюватися .

3. Після виконання одержимо результат.

Отже, результатом розв’язання рівняння буде х = 22025,84. Правильність результату можна перевірити за допомогою функцій Excel (Calc), якщо в будь-якій комірці набрати таку функцію: =LN(A1), де А1 = 22025,84. Результат виконання цієї функції буде 9,999972. Таким чином, рівняння розв’язане правильно.