A. Relación de Aplicación:

Sean A y B dos conjuntos no vacíos. Se denomina relación de aplicación a la ley, regla o procedimiento que asigna a elementos del conjunto A (conjunto de partida) elementos del conjunto B (conjunto de llegada).

B. Función

Sean A y B dos conjuntos no vacíos. Se denomina función a toda relación de aplicación donde a TODOS Y CADA UNO de los elementos del conjunto de partida se les hace corresponder un ÚNICO elemento en el conjunto de llegada.

Notación funcional:  "y = f(x)" se lee:  y es la imágen de x mediante la ley f.

Ejemplos:

1. Función lineal:
   f: R → R / f(x) = 2x - 3

2. Función cuadrática:
   g: R → R / g(x) = x² + 2x - 1

3. Función cúbica:
   h: R → R / h(x) = x³ - 4x + 5

4. Función exponencial:
   p: R → R / p(x) = 2^x

5. Función logarítmica:
   q: R+ → R / q(x) = log₂(x)  (donde R+ representa los números reales positivos)

6. Función trigonométrica (seno):
   r: R → [-1, 1] / r(x) = sen(x)

7. Función trigonométrica (coseno):
   s: R → [-1, 1] / s(x) = cos(x)

8. Función valor absoluto:
   t: R → R+ ∪ {0} / t(x) = |x|

9. Función raíz cuadrada:
   u: R+ ∪ {0} → R+ ∪ {0} / u(x) = √x

10. Función definida por partes:
    v: R → R / v(x) = {x + 1 si x < 0, x² si x ≥ 0}

Conjunto de Partida

El conjunto de partida es el conjunto de todos los elementos a los que se aplica la relación o función.

Conjunto de Llegada (Codominio)

El conjunto de llegada es el conjunto de todos los elementos que pueden ser el resultado de la relación o función.

Dominio

El dominio de una función es el conjunto de todos los valores posibles que puede tomar la variable independiente (generalmente "x").

Ejemplo: En la función f(x) = x^2, el dominio es el conjunto de todos los números reales.

Rango

El rango de una función es el conjunto de todos los valores posibles que puede tomar la variable dependiente (generalmente "y").

Ejemplo: En la función f(x) = x^2, el rango es el conjunto de todos los números reales no negativos.

Función Inyectiva

Una función es inyectiva si cada elemento del conjunto de llegada es imágen a lo sumo de un elemento del conjunto de partida.

Ejemplo: La función f(x) = x + 1 es inyectiva.

Función Sobreyectiva

Una función es sobreyectiva si cada elemento del conjunto de llegada es imágen de por lo menos de un elemento del conjunto de partida. 

Ejemplo: La función f(x) = x^3 es sobreyectiva (si se considera que el conjunto de llegada son todos los números reales).

Función Biyectiva

Una función es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva. Esto significa que cada elemento del conjunto de llegada se corresponde con exactamente un elemento del conjunto de partida.

Ejemplo: La función f(x) = x + 1 es biyectiva.

C. Función Polinómica

Una función polinómica es una función cuya expresión algebraica es un polinomio. Un polinomio es una expresión algebraica que contiene variables elevadas a exponentes enteros no negativos, y coeficientes numéricos.

La forma general de una función polinómica es:

f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0

donde:

n es un entero no negativo (el grado del polinomio)

a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0 son coeficientes numéricos (números reales)

a_n ≠ 0 (el coeficiente principal no puede ser cero)

Función Constante

Una función constante es una función polinómica de grado 0. Su forma general es:

f: R → R / f(x) = c

donde 'c' es una constante (un número real).

Características:

• El gráfico de una función constante es una línea horizontal.

• Todos los puntos en la función tienen la misma coordenada 'y' (el valor de la función es siempre 'c').

• La función no tiene raíces (a menos que c = 0).

Ejemplo: f(x) = 2

Función Lineal

Una función lineal es una función polinómica de grado 1. Su forma general es:

f: R → R / f(x) = mx + b

donde 'm' es la pendiente y 'b' es la intersección con el eje y.

Características:

• El gráfico de una función lineal es una línea recta.

• La pendiente 'm' indica la inclinación de la recta.

• La intersección con el eje y 'b' es el punto donde la recta cruza el eje vertical.

• La función tiene una raíz (el valor de x donde f(x) = 0) si m ≠ 0.

Ecuaciones:

• Pendiente:  m = (y₂ - y₁  ) / (x₂ - x₁)

• Punto pendiente:  y - y₁ = m(x - x₁)

• Pendiente:  m = tan(⍺)

Ejemplo: f(x) = 2x - 3

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P₁(-1,3) y P₂(2,-2).

La ecuación de una recta que pasa por dos puntos (x₁, y₁) y (x₂, y₂) está dada por:

y - y₁ = [(y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)] * (x - x₁)

En este caso, los puntos son P₁(-1, 3) y P₂(2, -2). Sustituimos estos valores en la fórmula:

y - 3 = [(-2 - 3) / (2 - (-1))] * (x - (-1))

Simplificamos:

y - 3 = (-5 / 3) * (x + 1)

Multiplicamos ambos lados por 3 para eliminar la fracción:

3y - 9 = -5x - 5

Reorganizamos la ecuación para obtener la forma general de la recta:

5x + 3y - 4 = 0

Por lo tanto, la ecuación de la recta que pasa por los puntos P₁(-1, 3) y P₂(2, -2) es 5x + 3y - 4 = 0.

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P₁(-4,0) y es paralele a la recta -3x - 4y + 1 = 0. 

Entender el concepto de rectas paralelas

Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente. Esto significa que si conocemos la pendiente de una recta, también conocemos la pendiente de cualquier recta paralela a ella.

Hallar la pendiente de la recta dada

La ecuación de la recta dada es -3x - 4y + 1 = 0. Para encontrar su pendiente, podemos reescribirla en la forma pendiente - ordenada al origen (y = mx + b), donde m es la pendiente:

Despejamos y:

-4y = 3x - 1

y = (-3/4)x + 1/4

La pendiente de esta recta es -3/4.

Usar la forma punto - pendiente

La forma punto - pendiente de una ecuación de recta es útil cuando conocemos un punto por el que pasa la recta y su pendiente:

y - y₁ = m(x - x₁)

(x₁, y₁) es el punto conocido (en este caso, P₁(-4, 0)).

m es la pendiente (que ya sabemos que es -3/4).

Sustituir los valores y simplificar

y - 0 = (-3/4)(x - (-4))

Simplificamos:

y = (-3/4)(x + 4)

y = (-3/4)x - 3

Escribir la ecuación en la forma general (opcional)

Si deseas expresar la ecuación en la forma general (Ax + By + C = 0), podemos hacerlo:

Multiplicamos por 4 para eliminar la fracción:

4y = -3x - 12

Reorganizamos los términos:

3x + 4y + 12 = 0

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P₁(-4,0) y es perpendicular a la recta 2x - y + 3 = 0. 

Encontrar la pendiente de la recta dada:

La ecuación de la recta dada es 2x - y + 3 = 0. Podemos reescribirla en la forma pendiente - ordenada al origen (y = mx + b) para encontrar su pendiente:

y = 2x + 3

La pendiente de esta recta es m₁ = 2.

Encontrar la pendiente de la recta perpendicular:

La pendiente de una recta perpendicular a otra es el negativo recíproco de la pendiente 1  de la recta original. Por lo tanto, la pendiente de la recta 2  que buscamos (m₂) es:

m₂ = -1/m₁ = -1/2   

Usar la forma punto - pendiente de la ecuación de una recta:

La forma punto - pendiente de la ecuación de una recta es:

y - y₁ = m(x - x₁)

Donde (x₁, y₁) es un punto en la recta y m es la pendiente.

En este caso, el punto dado es P₁(-4, 0) y la pendiente es m₂ = -1/2. Sustituimos estos valores en la ecuación:

y - 0 = (-1/2)(x - (-4))

Simplificar la ecuación:

y = (-1/2)(x + 4)

y = (-1/2)x - 2

Función Cuadrática

Una función cuadrática es una función polinómica de grado 2. Su forma general es:

f: R → R / f(x) = ax² + bx + c

donde 'a', 'b' y 'c' son números reales, y 'a' no puede ser cero.

Características:

• El gráfico de una función cuadrática es una parábola.

• Si 'a' > 0, la parábola abre hacia arriba. Si 'a' < 0, la parábola se abre hacia abajo.

• El vértice de la parábola es el punto donde la función alcanza su valor máximo (si a < 0) o mínimo (si a > 0).

• El eje de simetría es una línea vertical que pasa por el vértice y divide la parábola en dos mitades iguales.

• La función puede tener dos, una o ninguna raíz real (los valores de x donde f(x) = 0).

Elementos Principales:

• Vértice: Las coordenadas del vértice son (-b/2a, f(-b/2a)).

• Eje de simetría: La ecuación del eje de simetría es x = -b/2a.

• Intersección con el eje y: La intersección con el eje y es el punto (0, c).

• Intersecciones con el eje x: Las intersecciones con el eje x son las soluciones de la ecuación cuadrática ax² + bx + c = 0.

Ecuaciones:

• Forma general: f(x) = ax² + bx + c

• Fórmula cuadrática (para encontrar las raíces): x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Ejemplo:

f(x) = 2x² - 8x + 6

a = 2, b = -8, c = 6

Vértice: x = -(-8) / (2 * 2) = 2.  f(2) = 2(2)² - 8(2) + 6 = -2.  El vértice es (2, -2).

Eje de simetría: x = 2

Intersección con el eje y: (0, 6)

Raíces: Usando la fórmula cuadrática, encontramos que las raíces son x = 1 y x = 3.

D. Función Exponencial

Una función exponencial es una función cuyo valor se eleva a una potencia, donde el exponente es una variable. Su forma general es:

f: R → R+ / f(x) = a^x

donde 'a' es un número real positivo (a > 0) y diferente de 1 (a ≠ 1), y 'x' es cualquier número real.

Características:

• Dominio: El dominio de una función exponencial son todos los números reales (R).

• Rango: El rango de una función exponencial son todos los números reales positivos (R+).

• Asíntota horizontal: La función exponencial tiene una asíntota horizontal en y = 0. Esto significa que la gráfica de la función se acerca cada vez más al eje x a medida que x se hace muy grande (en valor absoluto), pero nunca lo toca.

• Crecimiento/Decrecimiento: Si a > 1, la función es creciente. Si 0 < a < 1, la función es decreciente.

• Intersección con el eje y: La función exponencial siempre interseca el eje y en el punto (0, 1).

Elementos Principales:

• Base (a): Es el número que se eleva a la potencia. Debe ser un número real positivo y diferente de 1.

• Exponente (x): Es la variable que indica a qué potencia se eleva la base.

Ejemplo:

f(x) = 2^x ,  g(x) = 3^x ,  h(x) = (0,2)^x ,  k(x) = (1/3)^x

E. Función Logaritmo

Una función logarítmica es una función que relaciona un número con el exponente al que debe elevarse una base fija para obtener ese número. Es la función inversa a la función exponencial. Su forma general es:

f: R+ → R / f(x) = logₐ(x)

donde 'a' es un número real positivo (a > 0) y diferente de 1 (a ≠ 1), y 'x' es un número real positivo (x > 0).

Características:

• Dominio: El dominio de una función logarítmica son todos los números reales positivos (R+).

• Rango: El rango de una función logarítmica son todos los números reales (R).

• Asíntota vertical: La función logarítmica tiene una asíntota vertical en x = 0. Esto significa que la gráfica de la función se acerca cada vez más al eje y a medida que x se acerca a 0, pero nunca lo toca.

• Crecimiento/Decrecimiento: Si a > 1, la función es creciente. Si 0 < a < 1, la función es decreciente.

• Intersección con el eje x: La función logarítmica siempre interseca el eje x en el punto (1, 0).

Elementos Principales:

• Base (a): Es el número que se eleva a la potencia. Debe ser un número real positivo y diferente de 1.

• Argumento (x): Es el número cuyo logaritmo se calcula. Debe ser un número real positivo.

Logaritmo Decimal:

Definición: El logaritmo decimal, también conocido como logaritmo común, es aquel que tiene base 10. Se denota como log₁₀(x) o simplemente log(x).

Ejemplo: log₁₀(100) = 2, porque 10² = 100.

Logaritmo Neperiano:

Definición: El logaritmo neperiano, también conocido como logaritmo natural, tiene como base el número irracional "e" (aproximadamente 2.71828). Se denota como ln(x).

Ejemplo: ln(e) = 1, porque e¹ = e.

Logaritmo Binario:

Definición: El logaritmo binario tiene como base el número 2. Se denota como log₂(x).

Ejemplo: log₂(8) = 3, porque 2³ = 8.

Ejemplo:

f(x) = log₂(x) ,  g(x) = log₄(x) ,  h(x) = log_(1/2)(x)

Propiedades Fundamentales:

• Logaritmo de 1: El logaritmo de 1 en cualquier base siempre es 0.
  logₐ(1) = 0, porque a⁰ = 1.

• Logaritmo de la Base: El logaritmo de la base en sí misma siempre es 1.
  logₐ(a) = 1, porque a¹ = a.

• Logaritmo de un Producto: El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
  logₐ(x * y) = logₐ(x) + logₐ(y)

• Logaritmo de un Cociente: El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia del logaritmo del dividendo y el logaritmo del divisor.
  logₐ(x / y) = logₐ(x) - logₐ(y)

• Logaritmo de una Potencia: El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base.
  logₐ(xⁿ) = n * logₐ(x)   

• Cambio de Base: Permite cambiar un logaritmo de una base a otra.
  logₐ(b) = logₓ(b) / logₓ(a)

F. Inversa de una función

¿Qué es una función inversa?

Imagina una función como una máquina que toma un valor de entrada (x) y lo transforma en un valor de salida (y). La función inversa, por otro lado, es como una máquina que "deshace" lo que hizo la función original. Toma el valor de salida (y) y lo transforma de vuelta al valor de entrada original (x).

Gráficamente, la función inversa es una reflexión de la función original a través de la línea y = x.

Notación:

La función inversa de f(x) se denota como f⁻¹(x).

Función original:  f: A → B / y = f(x)

Función inversa:  g: B → A / x = g(y)  ó  f⁻¹: B → A / y⁻¹ = f⁻¹(x)

Condiciones para tener una función inversa:

No todas las funciones tienen una inversa. Para que una función tenga una inversa, debe ser biyectiva. Esto significa que debe ser:

Inyectiva: Cada elemento del conjunto de salida tiene como máximo un elemento del conjunto de entrada que le corresponde.

Sobreyectiva: Todos los elementos del conjunto de salida tienen al menos un elemento del conjunto de entrada que les corresponde.

Cómo encontrar la función inversa:

• Escribe la función original: Reemplaza f(x) con y.

• Intercambia x e y: Ahora, donde veas x, escribe y, y donde veas y, escribe x.

• Despeja y: Resuelve la ecuación para y.

• Escribe la función inversa: Reemplaza y con f⁻¹(x).

Ejemplo: Encontrar la inversa de la función f(x) = 2x + 3.

• Escribe la función original:
  y = 2x + 3

• Intercambia x e y:
  x = 2y + 3

• Despeja y:
  x - 3 = 2y  ∴  y = (x - 3) / 2

• Escribe la función inversa:
  f⁻¹(x) = (x - 3) / 2

Ejemplo: Encontrar la inversa de la función f(x) = 2 - 3^(x+1).

• Reemplazamos f(x) con y:
  y = 2 - 3^(x+1)

• Intercambiamos x e y en la ecuación:
  x = 2 - 3^(y+1)

• Despejar y:
  Restamos 2 a ambos lados:
  x - 2 = -3^(y+1)
  Multiplicamos por -1 a ambos lados (para eliminar el signo negativo):
  -(x - 2) = 3^(y+1)  ∴   2 - x = 3^(y+1)
  Aplicamos logaritmo base 3 a ambos lados (para "bajar" el exponente):
  log₃(2 - x) = log₃(3^(y+1))
  log₃(2 - x) = y + 1  ∴   log₃(2 - x) - 1 = y

• Escribe la función inversa:

f⁻¹(x) = log₃(2 - x) - 1

Ejemplo: Hallar la ley inversa de f(x) = log₅(x+4) + 7.

• Reemplazamos f(x) con y: 
  y = log₅(x+4) + 7

• Intercambiamos x e y en la ecuación:
  x = log₅(y+4) + 7

• Despejar y:
  Restamos 7 a ambos lados:
  x - 7 = log₅(y+4)
  Reescribir la ecuación en forma exponencial:
  5^(x-7) = 5^(log₅(y+4))  ∴  5^(x-7) = y + 4
  Restamos 4 a ambos lados:  5^(x-7) - 4 = y

• Escribir la inversa:
  f⁻¹(x) = 5^(x-7) - 4

G. Combinación de funciones

Álgebra de funciones

El álgebra de funciones nos permite combinar funciones utilizando operaciones aritméticas básicas como suma, resta, multiplicación y división. Si tenemos dos funciones f(x) y g(x), podemos crear nuevas funciones de la siguiente manera:

• Suma: (f + g)(x) = f(x) + g(x)

• Resta: (f - g)(x) = f(x) - g(x)

• Multiplicación: (f * g)(x) = f(x) * g(x)

• División: (f / g)(x) = f(x) / g(x), siempre y cuando g(x) ≠ 0

Ejemplo:

Si f(x) = 2x + 1 y g(x) = x² - 3, entonces:

• (f + g)(x) = (2x + 1) + (x² - 3) = x² + 2x - 2

• (f - g)(x) = (2x + 1) - (x² - 3) = -x² + 2x + 4

• (f * g)(x) = (2x + 1)(x² - 3) = 2x³ + x² - 6x - 3

• (f / g)(x) = (2x + 1) / (x² - 3),  x ≠ ±√3

Composición de funciones

La composición de funciones es otra forma de combinar funciones, pero en lugar de realizar operaciones aritméticas, aplicamos una función al resultado de otra función. Si tenemos dos funciones f(x) y g(x), la composición de f con g se denota como:

(f ∘ g)(x) = f(g(x))

Esto significa que primero aplicamos la función g a x, y luego aplicamos la función f al resultado obtenido. Quiere decir que  x ∈ Dg  y  g(x) ∈ Df.

Ejemplo:

Si f(x) = √x y g(x) = x + 2, entonces:

(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x + 2) = √(x + 2)

Notación:

• (f ∘ g)(x) = f(g(x))

• (g ∘ f)(x) = g(f(x))

• (f ∘ g ∘ h)(x) = f(g(h(x)))

Propiedades de la composición de funciones:

• No es conmutativa: El orden importa. En general, f(g(x)) no es lo mismo que g(f(x)).
  Ejemplo: Si f(x) = x + 1 y g(x) = x², entonces f(g(x)) = x² + 1, pero g(f(x)) = (x + 1)².

• Es asociativa: (f ∘ g ∘ h) = (f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h). No importa cómo agrupemos las funciones, el resultado final será el mismo.

• Elemento neutro: Existe una función especial llamada función identidad, I(x) = x, que actúa como el elemento neutro en la composición. Esto significa que f(I(x)) = f(x)  y  I(f(x)) = f(x).

• Inversa: Si una función f tiene una inversa f⁻¹, entonces f(f⁻¹(x)) = x  y  f⁻¹(f(x)) = x. La composición de una función con su inversa nos da la función identidad.

• (f ∘ g)⁻¹(x) = (g⁻¹ ∘ f⁻¹)(x)

Ejemplo: Sea f(x) = x - 2,  g(x) = 1 / (x+1)  y  h(x) = x^2,  calcular:

a) (f ∘ g)(x)

b) (g ∘ f)(x)

c) (f ∘ g ∘ h)(x)

d) (h ∘ g ∘ f)(x)

e) (f ∘ g)⁻¹(x)

• a) (f ∘ g)(x)

Esto significa f(g(x)). Sustituimos g(x) en f(x):

(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(1/(x+1)) = (1/(x+1)) - 2

Entonces, (f ∘ g)(x) = (1/(x+1)) - 2  = (1 - 2(x+1))/(x+1) = (-2x - 1)/(x+1)

(f ∘ g)(x) = (-2x - 1)/(x+1)

• b) (g ∘ f)(x)

Esto significa g(f(x)). Sustituimos f(x) en g(x):

(g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(x - 2) = 1/((x - 2) + 1) = 1/(x - 1)

Entonces, (g ∘ f)(x) = 1/(x - 1)

• c) (f ∘ g ∘ h)(x)

Esto significa f(g(h(x))). Trabajamos de adentro hacia afuera:

Primero, h(x) = x²

Luego, g(h(x)) = g(x²) = 1/(x² + 1)

Finalmente, f(g(h(x))) = f(1/(x² + 1)) = (1/(x² + 1)) - 2

Entonces, (f ∘ g ∘ h)(x) = (1/(x² + 1)) - 2 = (1 - 2(x² + 1))/(x² + 1) = (-2x² - 1)/(x² + 1)

(f ∘ g ∘ h)(x) = (-2x² - 1)/(x² + 1)

• d) (h ∘ g ∘ f)(x)

Esto significa h(g(f(x))). De nuevo, trabajamos de adentro hacia afuera:

Ya sabemos que (g ∘ f)(x) = 1/(x - 1) de la parte (b).

Ahora, h(g(f(x))) = h(1/(x - 1)) = (1/(x - 1))² = 1/(x - 1)²

Entonces, (h ∘ g ∘ f)(x) = 1/(x - 1)²

• e) (f ∘ g)⁻¹(x)

Encontramos que (f ∘ g)(x) = (-2x - 1)/(x+1). Para encontrar la inversa, intercambiamos x e y y resolvemos para y:

y = (-2x - 1)/(x + 1)

x = (-2y - 1)/(y + 1)

x(y + 1) = -2y - 1

xy + x = -2y - 1

xy + 2y = -x - 1

y(x + 2) = -x - 1

y = (-x - 1)/(x + 2)

Entonces, (f ∘ g)⁻¹(x) = (-x - 1)/(x + 2)

Ejemplo: Sea (f ∘ g)(x) = (x - 3) / (x + 5)  y  g(x) = 2 - x,  calcular f(x).

• Entendemos la composición: Sabemos que (f ∘ g)(x) = f(g(x)).  Esto significa que la función f está actuando sobre el resultado de la función g(x).

• Sustituimos g(x):  Tenemos que g(x) = 2 - x.  Entonces, podemos reescribir la composición como:
  f(2 - x) = (x - 3) / (x + 5)

• Hacemos un cambio de variable: Para simplificar, vamos a llamar u = 2 - x.  Nuestro objetivo es despejar x en términos de u:
  x = 2 - u

• Sustituimos en la ecuación: Ahora, reemplazamos tanto g(x) como x en la ecuación original:
  f(u) = ((2 - u) - 3) / ((2 - u) + 5)

• Simplificamos: Simplificamos la expresión:
  f(u) = (-u - 1) / (7 - u)

• Cambiamos la variable:  Como u es solo una variable "variable ficticia", podemos volver a usar x (o cualquier otra letra) para representar la función f en términos de x:
  f(x) = (-x - 1) / (7 - x)

• O, equivalentemente, multiplicando por -1 arriba y abajo:
  f(x) = (x + 1) / (x - 7)

• Por lo tanto, f(x) = (x + 1) / (x - 7)

H. Dominio de funciones compuestas

• 1. Funciones con raíces (radicales)
  Restricción: El radicando (la expresión dentro de la raíz) debe ser mayor o igual a cero si el índice de la raíz es par.
  Si f(x) = √g(x) ⇒ Df = { x ∈ R / g(x) ≥ 0 } 

• 2. Funciones racionales (cocientes)
  Restricción: El denominador no puede ser igual a cero.
  Si f(x) = g(x) / h(x) ⇒ Df = { x ∈ R / h(x) ≠ 0 } 

• 3. Funciones logarítmicas
  Restricción: El argumento del logaritmo (la expresión dentro del logaritmo) debe ser estrictamente mayor que cero.
  Si f(x) = logₐ(g(x)) ⇒ Df = { x ∈ R / g(x) > 0 } 

• 4. Funciones trigonométricas

Restricciones:

• Seno y coseno: No tienen restricciones de dominio. Están definidas para todos los números reales.

• Tangente: No está definida para múltiplos impares de π/2 (es decir, π/2, 3π/2, 5π/2, etc.). En esos puntos, la función tiene asíntotas verticales.

• Secante: No está definida para múltiplos impares de π/2 (al igual que la tangente).

• Cosecante: No está definida para múltiplos enteros de π (es decir, 0, π, 2π, 3π, etc.).

• Cotangente: No está definida para múltiplos enteros de π (al igual que la cosecante).

• Arcoseno: El dominio de arcsin x está restringido al intervalo cerrado [-1, 1].
  Si f(x) = arcsin(g(x)) ⇒ Df = { x ∈ R / -1 ≤ g(x) ≤ 1 } 

• Arcocoseno: El dominio de arcsin x está restringido al intervalo cerrado [-1, 1].
  Si f(x) = arcsin(g(x)) ⇒ Df = { x ∈ R / -1 ≤ g(x) ≤ 1 } 

• 5. Funciones exponenciales
  Restricción: No tienen restricciones de dominio. Están definidas para todos los números reales.

Ejemplo:  Calcular dominio:  p(x) = (ln(x-2) * √(x + 3)) / (log(x + 2) * x)

• ln(x - 2):   Por lo tanto, x - 2 > 0, lo que implica x > 2.

• √(x + 3):   Por lo tanto, x + 3 ≥ 0, lo que implica x ≥ -3.

• log(x + 2):   Por lo tanto, x + 2 > 0, lo que implica x > -2. Además, el logaritmo no puede ser cero, lo que significa que x + 2 ≠ 1,  por lo tanto x ≠ -1.

• x:   El denominador no puede ser cero, por lo tanto, x ≠ 0.

Combinando todas estas restricciones:

• x > 2 (por el ln(x-2))

• x ≥ -3 (por la raíz)

• x > -2 y x ≠ -1 (por el logaritmo)

• x ≠ 0 (por el denominador)

• La restricción más limitante es x > 2.  Las otras restricciones se cumplen automáticamente si x > 2, excepto x ≠ 0 y x ≠ -1 que no afectan porque ya tenemos que x > 2.

Por lo tanto, el dominio de p(x) es (2, ∞).

Ejemplo:  Calcular dominio:  p(x) = (ln(x) * √(x - 1)) / (log(x + 1) * (x + 2))

• ln(x):   x > 0.

• √(x - 1):   x - 1 ≥ 0, lo que implica x ≥ 1.

• log(x + 1):   x + 1 > 0, lo que significa x > -1. Además, el logaritmo no puede ser cero, es decir, x+1 ≠ 1, por lo tanto x ≠ 0.

• x + 2: El denominador no puede ser cero, por lo tanto, x + 2 ≠ 0, lo que implica x ≠ -2.

Combinando todas estas restricciones:

• x > 0 (por el ln(x))

• x ≥ 1 (por la raíz)

• x > -1 y x ≠ 0 (por el logaritmo)

• x ≠ -2 (por el denominador)

Por lo tanto, el dominio de p(x) es [1, ∞).

I. Funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas son relaciones matemáticas que vinculan los ángulos de un triángulo rectángulo con las longitudes de sus lados. Se utilizan ampliamente en campos como la física, la ingeniería, la navegación y la astronomía. 

• Seno (sin):
  f: R → [-1, 1] / y = sin(x)

• Coseno (cos):
  f: R → [-1, 1] / y = cos(x)

• Tangente (tan):
  f: R - {x | x = (2n+1)π/2, n ∈ Z} → R / y = tan(x)

• Cotangente (cot):
  f: R - {x | x = nπ, n ∈ Z} → R / y = cot(x)

• Secante (sec):
  f: R - {x | x = (2n+1)π/2, n ∈ Z} → (-∞, -1] U [1, ∞) / y = sec(x)

• Cosecante (csc):
  f: R - {x | x = nπ, n ∈ Z} → (-∞, -1] U [1, ∞) / y = csc(x)

Identidades trigonométricas:

• sen²(x) + cos²(x) = 1

• 1 + tan²(x) = sec²(x)

• 1 + cot²(x) = csc²(x)

• csc(x) = 1 / sen(x)

• sec(x) = 1 / cos(x)

• cot(x) = 1 / tan(x)

• tan(x) = sen(x) / cos(x)

• cot(x) = cos(x) / sen(x)

• sen(-x) = -sen(x)

• cos(-x) = cos(x)

• tan(-x) = -tan(x)

• sen(x + y) = sen(x)cos(y) + cos(x)sen(y)

• sen(x - y) = sen(x)cos(y) - cos(x)sen(y)

• cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sen(x)sen(y)

• cos(x - y) = cos(x)cos(y) + sen(x)sen(y)

• tan(x + y) = (tan(x) + tan(y)) / (1 - tan(x)tan(y))

• tan(x - y) = (tan(x) - tan(y)) / (1 + tan(x)tan(y))

• sen(2x) = 2sen(x)cos(x)

• cos(2x) = cos²(x) - sen²(x)

• tan(2x) = 2tan(x) / (1 - tan²(x))

• sen(x)cos(y) = (1/2)[sen(x + y) + sen(x - y)]

• cos(x)sen(y) = (1/2)[sen(x + y) - sen(x - y)]

• cos(x)cos(y) = (1/2)[cos(x + y) + cos(x - y)]

• sen(x)sen(y) = -(1/2)[cos(x + y) - cos(x - y)]

J. Función Valor Absoluto

Una función valor absoluto es una función que asigna a cada número real su valor absoluto. Su forma general es:

f: R → R+ U {0} / f(x) = |x|

donde 'x' es un número real, y '|x|' representa el valor absoluto de 'x'.

Definición:  f(x) = |x| = { x si x ≥ 0 ; -x si x < 0 }

Características:

• El dominio de la función valor absoluto es el conjunto de todos los números reales (R).

• El rango de la función valor absoluto es el conjunto de todos los números reales no negativos (R+ U {0}).

• La función valor absoluto es una función par, es decir, f(-x) = f(x) para todo x en su dominio.

• La gráfica de la función valor absoluto tiene forma de "V", con el vértice en el origen (0, 0).

• La función valor absoluto no es inyectiva, ya que diferentes valores de 'x' pueden tener el mismo valor absoluto.

• La función valor absoluto es continua en todo su dominio.

Elementos Principales:

• Vértice: El punto donde la gráfica de la función cambia de dirección. En la función valor absoluto básica, el vértice está en el origen (0, 0).

• Eje de simetría: La recta vertical que divide la gráfica de la función en dos partes iguales. En la función valor absoluto básica, el eje de simetría es el eje y.

• Intersecciones: Los puntos donde la gráfica de la función cruza los ejes x e y. En la función valor absoluto básica, la intersección con el eje x y el eje y es el origen (0, 0).

Ejemplo:

f(x) = |x + 1| = { x + 1 si x + 1 ≥ 0 ; -(x + 1) si x + 1 < 0 } = { x + 1 si x ≥ - 1 ; - x - 1 si x < -1 }

Ejemplo:

f(x) = |x^2 - 1| = { x^2 - 1 si x^2 - 1 ≥ 0 ; -(x^2 - 1) si x^2 - 1 < 0 }

f(x) = |x^2 - 1| = { x^2 - 1 si x ∈ (- ∞ , - 1] U [1 , + ∞) ; 1 - x^2 si x ∈ (- 1 , 1) }

K. Región solución

¿Qué es un sistema de inecuaciones?

Un sistema de inecuaciones es un conjunto de dos o más inecuaciones que deben cumplirse simultáneamente.

¿Cómo se representa gráficamente una inecuación?

• Se representa la curva asociada a la inecuación. Para ello, se sustituye el signo de desigualdad por el signo igual y se dibuja la curva correspondiente.

• Se elige un punto del plano que no esté en la curva. Se sustituyen las coordenadas de este punto en la inecuación.

• Si la inecuación se cumple, la región solución es el semiplano que contiene al punto elegido. Si la inecuación no se cumple, la región solución es el otro semiplano.

¿Cómo se resuelve un sistema de inecuaciones?

Se representa gráficamente cada una de las inecuaciones del sistema.

La solución del sistema es la región del plano que cumple todas las inecuaciones simultáneamente. Esta región se llama región factible o región solución.

Tipos de soluciones:

Un sistema de inecuaciones puede tener los siguientes tipos de soluciones:

• Solución única: La región factible es un punto.

• Infinitas soluciones: La región factible es un conjunto de puntos.

• Sin solución: No existe ningún punto que cumpla todas las inecuaciones simultáneamente.

Ejemplo:

Resolver el siguiente sistema de inecuaciones:

x + y ≤ 5  ∧  x - y ≤ 1  ∧  x ≥ 0  ∧  y ≥ 0

• x + y ≤ 5

• x - y ≤ 1

• x ≥ 0

• y ≥ 0

Se representan gráficamente las rectas asociadas a las inecuaciones:

• x + y = 5

• x - y = 1

• x = 0

• y = 0

Se elige un punto del plano que no esté en ninguna de las rectas. Se sustituyen las coordenadas de este punto en las inecuaciones:

• El punto (0, 0)  ⇒  0 + 0 ≤ 5

• El punto (0, 0)  ⇒  0 - 0 ≤ 1

• El punto (1, 0)  ⇒  1 ≥ 0

• El punto (0, 1)  ⇒  1 ≥ 0

L. Modelos matemáticos

El primer paso para resolver problemas de rapidez de variación y/o problemas de optimización consiste en construir el modelo matemático asociado a la situación de estudio. Un modelo matemático no es mas que una ecuación (función) que intenta representar una situación real. El modelo es fundamental ya que sobre él es que aplicaremos las herramientas del cálculo para obtener respuestas que nos ayuden a tomar las mejores decisiones.

Procedimiento:

1. Hacer un esquema o gráfico de la situación de estudio.

2. Identificar y definir las variables asociadas.

3. Establecer la primera ecuación de trabajo o ecuación principal. Esta ecuación generalmente es la primera en la que pensamos cuando hacemos los planteamientos iniciales. La misma quizás deba ser modificada o ajustada para que realmente sea útil.

4. Ecuaciones auxiliares. Estas ecuaciones nos ayudan a modificar la ecuación principal. Las ecuaciones auxiliares no se inventan, el mismo problema las aporta. 

5. Modelo matemático. De la combinación de la ecuación principal y las auxiliares nace el Modelo Matemático.

6. Dominio. Señalamos el conjunto de valores lógicos posibles que puede tomar la variable independiente de nuestro modelo.

Ejemplos:

1. Si un triángulo equilátero tiene lado x, expresar su área en función de x.

2. Los lados iguales de un triángulo isósceles tienen longitud 2. Si x es la base, expresar su área en función de x.

3. Si la arista de un cubo es x,  expresar su volumen, su superficie y su diagonal en función de x.

4. Un rectángulo cuya base tiene longitud x está inscrito en un círculo fijo de radio a. Expresar el área del rectángulo en función de x.

5. Una cuerda de longitud fija L se divide en dos trozos para formar una circunferencia y un cuadrado. Si x es un lado del cuadrado, expresar el área total encerrada en función de x.

Solución 1:  Si un triángulo equilátero tiene lado x, expresar su área en función de x.

Solución 4:  Un rectángulo cuya base tiene longitud x está inscrito en un círculo fijo de radio a. Expresar el área del rectángulo en función de x.