A.  Calculo de Área

1. Calcular el área de la región contenida entre las curvas:
   R = {(x,y) / x² + y² ≤ 9 ∧ y ≤ 2x}

2. Calcular el área de la región limitada por:
   y = x² - 4x + 3 y el eje x.

3. Hallar el área de la región encerrada por las gráficas de:
   y = x³ y y = x, para x ≥ 0.

4. Determinar el área de la región acotada por:
   y = sin(x) y y = cos(x), desde x = 0 hasta x = π/4.

5. Calcular el área de la región comprendida entre:
   y = √x y y = x², desde x = 0 hasta x = 1.

6. Hallar el área de la región limitada por:
   y = e^x, y = e^-x y x = 1.

7. Determinar el área de la región encerrada por:
   y = ln(x), y = 0 y x = e.

8. Calcular el área de la región acotada por:
   y = |x| y y = 2 - x².

9. Hallar el área de la región limitada por:
   y = x² - 1 y y = x + 1.

10. Determinar el área de la región encerrada por:
    x = y² y x = 4.

B.  Fuerza sobre placas planas

Cada región representa una placa sumergida verticalmente en un líquido de densidad ⍴ (Kg / m³).

Plantear las integrales que permiten calcular la fuerza que ejerce el líquido sobre las placas si el nivel (de líquido) se ubica donde es señalado en cada caso:

1. Región R = {(x,y) / x² + y² ≤ 9 ∧ y ≤ 2x}.
   Nivel del líquido: y = 4.

2. Región limitada por: y = x² - 4x + 3 y el eje x.
   Nivel del líquido: y = 0.

3. Región encerrada por las gráficas de: y = x³ y y = x, para x ≥ 0.
   Nivel del líquido: En el punto más alto de la placa.

4. Región acotada por: y = sin(x) y y = cos(x), desde x = 0 hasta x = π/4.
   Nivel del líquido: y = 3

5. Región comprendida entre: y = √x y y = x², desde x = 0 hasta x = 1.
   Nivel del líquido: 1/2 m por encima del punto más alto de la placa.

6. Región limitada por: y = e^x, y = e^-x y x = 1.
   Nivel del líquido: y = 1

7. Región encerrada por: y = ln(x), y = 0 y x = e.
   Nivel del líquido: 1 m por encima del punto más alto de la placa.

8. Región acotada por: y = |x| y y = 2 - x².
   Nivel del líquido: 1 m por debajo del punto más alto de la placa.

9. Región limitada por: y = x² - 1 y y = x + 1.
   Nivel del líquido: y = 2

10. Región encerrada por: x = y² y x = 4.
    Nivel del líquido: y = 0

C.  Cálculo de Volumen - Sólidos de revolución

En cada caso plantear las integrales que permite calcular el volumen del sólido de revolución generado:

1. La región comprendida entre: y = sen(x)  y  y = 0, desde x = 0 hasta x = π, gira alrededor del eje x.

2. La región comprendida entre: y = x²  y  y = 4, gira alrededor de la recta y = 4.

3. La región comprendida entre: y = √x  y  y = x, desde x = 0 hasta x = 1, gira alrededor del eje y.

4. La región comprendida entre: x = y²  y  x = 4, gira alrededor de la recta x = 4.

5. La región comprendida entre: y = e^x, y = 1  y  x = 1, gira alrededor del eje x.

6. La región comprendida entre: y = ln(x), y = 0  y  x = e, gira alrededor del eje y.

7. La región comprendida entre: y = x³  y  y = x, desde x = 0 hasta x = 1, gira alrededor de la recta y = -1.

8. La región comprendida entre: x = y² - 4  y  x = 0, gira alrededor del eje y.

9. La región comprendida entre: y = cos(x)  y  y = sen(x), desde x = 0 hasta x = π/4, gira alrededor del eje x.

10. La región comprendida entre: y = 1/x, y = 1  y  x = 2, gira alrededor de la recta x = 2.

D.  Trabajo Mecánico

1. El segmento de curva y = 2x^2, desde x = 0 a x = 2, gira alrededor de la recta x = 0. Si el tanque está lleno de agua hasta una profundidad de 1 m, ¿cuál es el trabajo requerido para vaciarlo por el tope?

2. La curva y = x^3, desde x = 0 a x = 1, gira alrededor de la recta x = 0. Si el tanque está inicialmente vacío, ¿cuánto trabajo se necesita para llenarlo con agua hasta una altura de 0,5 m si el líquido se encuentra disponible en la base del tanque?

3. El segmento de curva y = √x, desde x = 0 a x = 4, gira alrededor de la recta x = -1. Si el tanque se encuentra completamente lleno de agua, ¿cuál es el trabajo necesario para vaciarlo completo por el tope?

4. La curva y = 1 - x^2, desde x = 0 a x = 1, gira alrededor de la recta x = 2. Si el tanque está vacío, ¿cuánto trabajo se requiere para llenarlo con agua hasta una profundidad de 0,8 m si el líquido se encuentra disponible a 4 m por debajo del tanque?

5. El segmento de curva y = x^2/2, desde x = 0 a x = 2, gira alrededor de la recta x = 4. Si el tanque está lleno hasta una profundidad de 1,5 m, ¿cuál es el trabajo necesario para vaciarlo por el tope?

6. La curva y = x^4, desde x = 0 a x = 1, gira alrededor de la recta x = 0. Si el tanque está vacío, ¿cuánto trabajo se necesita para llenarlo con agua hasta una altura de 0,3 m si el líquido se encuentra disponible a 50 m por debajo del tanque?

7. El segmento de curva y = 2√x, desde x = 0 a x = 9, gira alrededor de la recta x = 9. Si el tanque está lleno hasta una profundidad de 3 m, ¿cuál es el trabajo requerido para vaciarlo llevando el líquido hasta una altura de 10 m por encima de la parte mas alta del tanque?

8. La curva y = 1 - x^3, desde x = -1 a x = 1, gira alrededor de la recta x = 3. Si el tanque está lleno hasta una profundidad de 0,5 m, ¿cuánto trabajo se requiere para llenarlo con agua hasta una altura de 1,5 m si el líquido se encuentra disponible a 2 m por debajo del tanque?

9. La curva y = 1 - x^3, desde x = -1 a x = 1, gira alrededor de la recta x = 3. Si el tanque está lleno hasta una profundidad de 1,7 m, ¿cuánto trabajo se requiere para vaciarlo por el tope hasta que la profundidad en el tanque sea de 0,3 m?

10. La curva y = x, desde x = 0 a x = 1, gira alrededor de la recta x = 0. Si el tanque está lleno hasta un 60% de su capacidad ¿cuánto trabajo se requiere para vaciarlo completo por el tope?

11. La curva y = x, desde x = 0 a x = 1, gira alrededor de la recta x = 0. Si el tanque está lleno con agua hasta un 80% de su capacidad ¿cuánto trabajo se requiere para vaciar el 40% de dicho contenido inicial, llevando el líquido hasta una altura de 3 m por encima de la parte mas alta del tanque ?

E.  Longitud de curva

1. Calcular el perímetro de la región contenida entre las curvas:
   R = {(x,y) / x² + y² ≤ 9 ∧ y ≤ 2x}

2. Calcular el perímetro de la región limitada por:
   y = x² - 4x + 3 y el eje x.

3. Calcular el perímetro de la región encerrada por las gráficas de:
   y = x³ y y = x, para x ≥ 0.

4. Calcular el perímetro de la región acotada por:
   y = sin(x), y = cos(x) y los ejes coordenados en el primer cuadrante.

5. Calcular el perímetro de la región comprendida entre:
   y = √x y y = x², desde x = 0 hasta x = 1.

6. Calcular el perímetro de la región limitada por:
   y = e^x, y = e^-x y x = 1.

7. Calcular el perímetro de la región encerrada por:
   y = ln(x), y = 0 y x = e.

8. Calcular el perímetro de la región acotada por:
   y = |x| y y = 2 - x².

9. Calcular el perímetro de la región limitada por:
   y = x² - 1 y y = x + 1.

10. Calcular el perímetro de la región encerrada por:
    x = y² y x = 4.

F.  Área de Superficie de Sólidos de Revolución