A.   Suma Superior, Suma Inferior y Suma de Riemann

Calcular la Suma Inferior y la Suma Superior. En cada caso hacer la gráfica.

1. Función: f(x) = x + 1. Intervalo: [1, 3]. Partición: P = {1, 1.5, 2, 2.5, 3}.

2. Función: f(x) = x². Intervalo: [0, 2]. Partición: P = {0, 0.5, 1, 1.5, 2}.

3. Función: f(x) = 1/x. Intervalo: [1, 4]. Partición: P = {1, 2, 3, 4}.

4. Función: f(x) = cos(x). Intervalo: [0, π/2]. Partición: P = {0, π/6, π/3, π/2}.

5. Función: f(x) = eˣ. Intervalo: [-1, 1]. Partición: P = {-1, -1/2, 0, 1/2, 1}.

6. Función: f(x) = sin(x). Intervalo: [0, π]. Partición: P = {0, π/4, π/2, 3π/4, π}.

7. Función: f(x) = x³. Intervalo: [-1, 1]. Partición: P = {-1, -0.5, 0, 0.5, 1}.

8. Función: f(x) = √x. Intervalo: [1, 4]. Partición: P = {1, 2, 3, 4}.

9. Función: f(x) = 2x + 3. Intervalo: [-2, 2]. Partición: P = {-2, -1, 0, 1, 2}.

10. Función: f(x) = ln(x). Intervalo: [1, e]. Partición: P = {1, 1.5, 2, 2.5, e}.

11. Función: f(x) = 1/(x+1). Intervalo: [0, 2]. Partición: P = {0, 0.5, 1, 1.5, 2}.

12. Función: f(x) = 2x² + 1. Intervalo: [0, 2]. Partición: P = {0, 0.5, 1, 1.5, 2}.

13. Función: f(x) = -x² + 4. Intervalo: [-2, 2]. Partición: P = {-2, -1, 0, 1, 2}.

14. Función: f(x) = (½)x² - 2. Intervalo: [-2, 2]. Partición: P = {-2, -1, 0, 1, 2}.

15. Función: f(x) = 3x² + 2. Intervalo: [1, 3]. Partición: P = {1, 1.5, 2, 2.5, 3}.

16. Función: f(x) = -2x² + 8. Intervalo: [-2, 2]. Partición: P = {-2, -1, 0, 1, 2}.

B.   Propiedades de la Integral Definida

1. ¿Cuál de las siguientes propiedades es INCORRECTA para la integral definida?

• a) ∫(a,a) f(x) dx = 0

• b) ∫(a,b) [f(x) + g(x)] dx = ∫(a,b) f(x) dx + ∫(a,b) g(x) dx

• c) ∫(a,b) k * f(x) dx = k * ∫(a,b) f(x) dx + k

2. Si invertimos los límites de integración de una integral definida, ¿qué sucede con el resultado?

• a) El resultado se mantiene igual.

• b) El resultado cambia de signo.

• c) El resultado se multiplica por 2.

3. ¿Cuál es el significado geométrico de la integral definida?

• a) La pendiente de la recta tangente a la curva en un punto.

• b) El área entre la curva, el eje x y las rectas x = a y x = b.

• c) La longitud de la curva entre los puntos x = a y x = b.

4. Si una función f(x) es siempre positiva en un intervalo [a, b], ¿qué podemos decir sobre el valor de la integral definida ∫(a b) f(x) dx?

• a) La integral será siempre negativa.

• b) La integral será siempre positiva.

• c) La integral puede ser positiva o negativa, dependiendo de los valores de a y b.

5. ¿Cuál de las siguientes propiedades NO es una propiedad de linealidad de la integral definida?

• a) ∫(a,b) [f(x) + g(x)] dx = ∫(a,b) f(x) dx + ∫(a,b) g(x) dx

• b) ∫(a,b) k * f(x) dx = k * ∫(a,b) f(x) dx

• c) ∫(a,b) [f(x) * g(x)] dx = ∫(a,b) f(x) dx * ∫(a,b) g(x) dx

C.   Particiones

1. Dado el intervalo [2, 8], construir una partición regular con 6 elementos.

2. Dado el intervalo [-3, 2], construir una partición regular con 5 elementos.

3. Dado el intervalo [0, π], construir una partición regular con 4 elementos.

4. Dado el intervalo [-2.5, 1.5], construir una partición regular con 8 elementos.

5. Dado el intervalo [1/2, 3/2], construir una partición regular con 3 elementos.

D.   Cálculo de Integrales por definición

1. Calcular el valor de ∫(0,3) (2x - 1) dx por definición.

2. Utilizando la definición de integral definida, encuentra el área bajo la curva de f(x) = -x + 2 en el intervalo [-1, 2].

3. Calcula ∫(-2,1) (3x + 4) dx aplicando la definición de integral.

4. Determina el valor de ∫(1,5) (x/2 + 3) dx utilizando sumas de Riemann.

5. Encuentra el área de la región limitada por la gráfica de y = -2x + 5, el eje x y las rectas x = 0 y x = 2, mediante la definición de integral definida.

6. Calcular el valor de ∫(-3,0) (x + 4) dx por definición.

7. Utilizando la definición de integral definida, encuentra el área bajo la curva de f(x) = 4x - 1 en el intervalo [2, 5].

8. Calcula ∫(-1,2) (-2x + 3) dx aplicando la definición de integral.

9. Determina el valor de ∫(0,4) (x/3 + 2) dx utilizando sumas de Riemann.

10. Encuentra el área de la región limitada por la gráfica de y = 3x - 2, el eje x y las rectas x = 1 y x = 4, mediante la definición de integral definida.

E.   Calcular las siguientes derivadas (Parte A del TFC)

1. Sea F(x) = ∫(1, x) (t² + 3t) dt. Calcular F'(x).

2. Sea G(x) = ∫(0, x²) (cos t) dt. Calcular G'(x).

3. Sea H(x) = ∫(x, 2x) (e^t) dt. Calcular H'(x).

4. Sea F(x) = ∫(ln x, x) (1/t) dt. Calcular F'(x).

5. Sea G(x) = ∫(x², x³) (√t) dt. Calcular G'(x).

6. Sea H(x) = ∫(sin x, cos x) (tan t) dt. Calcular H'(x).

7. Sea F(x) = ∫(0, x) (arctan t) dt. Calcular F'(x).

8. Sea G(x) = ∫(x, 1/x) (ln t) dt. Calcular G'(x).

9. Sea H(x) = ∫(x², 2x²) (1/(t² + 1)) dt. Calcular H'(x).

10. Sea F(x) = ∫(e^x, 2e^x) (t^2 * e^(-t)) dt. Calcular F'(x).

F.   Calcular el valor de las siguientes integrales (Parte B del TFC)

1. Calcular ∫(0, π/2) cos(x) dx. (Una integral trigonométrica básica)

2. Calcular ∫(-1, 1) (x² - 3) dx. (Un polinomio de grado 2)

3. Calcular ∫(2, 4) (1/x) dx. (Una función racional simple)

4. Calcular ∫(0, 1) e^x dx. (Una función exponencial)

5. Calcular ∫(-2, 2) √(4 - x²) dx. (Una integral que representa el área de un semicírculo)

6. Calcular ∫(1, e) ln(x) dx. (Una función logarítmica)

7. Calcular ∫(0, π) sin(2x) dx. (Una función trigonométrica con un múltiplo del ángulo)

8. Calcular ∫(1, 3) (x² + 1)/(x) dx. (Una función racional más compleja)

9. Calcular ∫(-1, 1) |x| dx. (Una función valor absoluto)

10. Calcular ∫(0, ∞) e^(-x) dx. (Una integral impropia)

G.   Teorema del Valor Medio para Integrales

1. Sea f(x) = 2x - 3, calcular el valor promedio de f en [1, 4] y los valores de "c" que lo generan.

2. Sea f(x) = x² + 1, calcular el valor promedio de f en [-1, 2] y los valores de "c" que lo generan.

3. Sea f(x) = √x, calcular el valor promedio de f en [0, 4] y los valores de "c" que lo generan.

4. Sea f(x) = e^x, calcular el valor promedio de f en [0, ln(2)] y los valores de "c" que lo generan.

5. Sea f(x) = sen(x), calcular el valor promedio de f en [0, π] y los valores de "c" que lo generan.

6. Sea f(x) = cos(x), calcular el valor promedio de f en [0, π/2] y los valores de "c" que lo generan.

7. Sea f(x) = 1/x, calcular el valor promedio de f en [1, e] y los valores de "c" que lo generan.

8. Sea f(x) = ln(x), calcular el valor promedio de f en [1, e^2] y los valores de "c" que lo generan.

9. Sea f(x) = x³ - 3x² + 2x, calcular el valor promedio de f en [0, 2] y los valores de "c" que lo generan.

10. Sea f(x) = |x|, calcular el valor promedio de f en [-2, 2] y los valores de "c" que lo generan.

H.   Integrales Impropias

1. Resolver la integral: ∫(1, ∞) 1/x² dx

2. Resolver la integral: ∫(-∞, 0) e^x dx

3. Resolver la integral: ∫(0, ∞) x*e^(-x²) dx

4. Resolver la integral: ∫(-∞, ∞) 1/(1+x²) dx

5. Resolver la integral: ∫(1, ∞) ln(x)/x² dx

6. Resolver la integral: ∫(-∞, 0) e^(2x) dx

7. Resolver la integral: ∫(0, ∞) sin(x)/x dx (Esta es una integral impropia especial, puedes investigar sobre ella)

8. Resolver la integral: ∫(-∞, ∞) x*e^(-x²) dx

9. Resolver la integral: ∫(1, ∞) 1/(x*ln²(x)) dx

10. Resolver la integral: ∫(-∞, ∞) e^(-x²) dx (Esta es la famosa integral de Gauss, que tiene una solución específica)

11. Resolver la integral: ∫(1, 2) 1/(x-1) dx

12. Resolver la integral: ∫(0, 1) 1/x^(1/3) dx

13. Resolver la integral: ∫(2, 3) 2/(x-2)^2 dx

14. Resolver la integral: ∫(0, π/2) sec^2(x) dx

15. Resolver la integral: ∫(1, ∞) ln(x)/(x-1) dx (ojo)

16. Resolver la integral: ∫(0, 1) 1/(x^2 - 1) dx

17. Resolver la integral: ∫(-1, 1) 1/x dx

18. Resolver la integral: ∫(0, 1) ln(x) dx

19. Resolver la integral: ∫(0, ∞) e^(-x)/√x dx (ojo)

20. Resolver la integral: ∫(0, 1) 1/(x^2 - 4x + 3) dx

I.   Integración Numérica Aproximada

Estimación de integrales definidas usando la Regla del Trapecio o la Regla de Simpson: 

Regla del Trapecio:

1. Función: f(x) = x^2 + 1. Intervalo: [0, 2]. n: 4

2. Función: f(x) = sin(x). Intervalo: [0, π]. n: 6

3. Función: f(x) = e^x. Intervalo: [0, 1]. n: 5

4. Función: f(x) = 1/x. Intervalo: [1, 3]. n: 8

5. Función: f(x) = √x. Intervalo: [1, 4]. n: 10

Regla de Simpson:

6. Función: f(x) = x^3. Intervalo: [0, 2]. n: 4

7. Función: f(x) = cos(x). Intervalo: [0, π/2]. n: 6

8. Función: f(x) = ln(x). Intervalo: [1, e]. n: 8

9. Función: f(x) = 1/(x+1). Intervalo: [0, 2]. n: 10

10. Función: f(x) = x^4. Intervalo: [-1, 1]. n: 4