A.  Conceptos básicos sobre funciones

1. ¿Cuál de las siguientes opciones define mejor a una función?

• a) Una relación donde cada elemento del dominio se relaciona con exactamente un elemento del rango.

• b) Una relación donde cada elemento del rango se relaciona con exactamente un elemento del dominio.

• c) Una relación donde los elementos del dominio y rango pueden relacionarse de cualquier forma.

2. El dominio de una función es:

• a) El conjunto de todos los posibles valores de salida.

• b) El conjunto de todos los posibles valores de entrada.

• c) El punto donde la gráfica cruza el eje y.

3. El rango de una función es:

• a) El conjunto de todos los posibles valores de entrada.

• b) El conjunto de todos los posibles valores de salida.

• c) La pendiente de la recta.

4. Una función lineal se caracteriza por:

• a) Tener una gráfica en forma de parábola.

• b) Tener una gráfica que es una línea recta.

• c) No tener gráfica.

5. La pendiente de una función lineal representa:

• a) El punto donde la gráfica cruza el eje x.

• b) El cambio en y dividido por el cambio en x.

• c) La distancia entre dos puntos cualesquiera de la gráfica.

6. Una función cuadrática se caracteriza por:

• • a) Tener una gráfica en forma de línea recta.

  • b) Tener una gráfica en forma de parábola.

  • c) No tener gráfica.

7. El vértice de una parábola representa:

• a) El punto más alto o más bajo de la parábola.

• b) El punto donde la parábola cruza el eje x.

• c) El punto donde la parábola cruza el eje y.

8. Una función exponencial se caracteriza por:

• a) Tener una tasa de crecimiento constante.

• b) Tener una tasa de crecimiento que aumenta o disminuye exponencialmente.

• c) No tener tasa de crecimiento.

9. Una función logarítmica es la inversa de:

• a) Una función lineal.

• b) Una función cuadrática.

• c) Una función exponencial.

10. Una función inyectiva es aquella en la que:

• a) Cada elemento del rango tiene una única preimagen en el dominio.

• b) Cada elemento del dominio tiene una única imagen en el rango.

• c) Cada elemento del dominio tiene múltiples imágenes en el rango.

11. Una función sobreyectiva es aquella en la que:

• a) Cada elemento del rango tiene una única preimagen en el dominio.

• b) Cada elemento del dominio tiene una única imagen en el rango.

• c) Cada elemento del rango tiene al menos una preimagen en el dominio.

12. Una función biyectiva es aquella que es:

• a) Inyectiva pero no sobreyectiva.

• b) Sobreyectiva pero no inyectiva.

• c) Tanto inyectiva como sobreyectiva.

13. La composición de funciones consiste en:

• a) Sumar las funciones.

• b) Restar las funciones.

• c) Colocar una función dentro de otra.

14. La función inversa de una función f(x) se denota como:

• a) f'(x)

• b) f⁻¹(x)

• c) 1/f(x)

15. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa una función lineal?

• a) y = x² + 2

• b) y = 2x + 3

• c) y = 2ˣ

B.  Funciones Polinómicas

1. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa una función constante?

• a) y = 2x + 1

• b) y = -3

• c) y = x²

2. La gráfica de una función constante es siempre:

• a) Una línea recta con pendiente positiva.

• b) Una línea recta con pendiente negativa.

• c) Una línea recta horizontal.

3. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa una función lineal?

• a) y = x³

• b) y = 2x - 5

• c) y = 1/x

4. La pendiente de una función lineal representa:

• a) El punto donde la gráfica cruza el eje y.

• b) La inclinación de la recta.

• c) La distancia entre dos puntos cualesquiera de la gráfica.

5. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa una función cuadrática?

• a) y = 2x + 1

• b) y = x² - 3x + 2

• c) y = 2ˣ

6. La gráfica de una función cuadrática es siempre:

• a) Una línea recta.

• b) Una parábola.

• c) Una curva exponencial.

7. El vértice de una parábola representa:

• a) El punto más alto o más bajo de la parábola.

• b) El punto donde la parábola cruza el eje x.

• c) El punto donde la parábola cruza el eje y.

8. Si la pendiente de una función lineal es positiva, entonces la gráfica:

• a) Es creciente de izquierda a derecha.

• b) Es decreciente de izquierda a derecha.

• c) Es horizontal.

9. Si la pendiente de una función lineal es negativa, entonces la gráfica:

• a) Es creciente de izquierda a derecha.

• b) Es decreciente de izquierda a derecha.

• c) Es vertical.

10. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta sobre la función f(x) = -x² + 4?

• a) La parábola abre hacia arriba.

• b) El vértice de la parábola está en (0, -4).

• c) La parábola abre hacia abajo.

11. ¿Cuál de las siguientes funciones tiene una tasa de cambio constante?

• a) Función constante

• b) Función lineal

• c) Función cuadrática

12. ¿Cuál de las siguientes funciones tiene una tasa de cambio variable?

• a) Función constante

• b) Función lineal

• c) Función cuadrática

13. Si la ecuación de una función lineal es y = mx + b, ¿qué representa la letra "b"?

• a) La pendiente de la recta.

• b) El punto donde la gráfica cruza el eje x.

• c) El punto donde la gráfica cruza el eje y.

14. ¿Cuál de las siguientes funciones representa una relación proporcional?

• a) Función constante

• b) Función lineal que pasa por el origen (0,0)

• c) Función cuadrática

15. Si el discriminante en la ecuación cuadrática es igual a cero significa:

• a) La parábola tiene 2 raíces reales diferentes

• b) La parábola tiene 1 raiz real con multiplicidad 2

• c) La parábola tiene raíces imaginarias

C.  Función Exponencial y Función Logarítmo

1. ¿Cuál de las siguientes opciones representa la forma general de una función exponencial?

• a) f(x) = ax + b

• b) f(x) = x^a

• c) f(x) = a^x

2. Si la base de una función exponencial es mayor que 1, ¿cómo se comporta la gráfica de la función?

• a) Es decreciente.

• b) Es creciente.

• c) Es constante.

3. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA sobre las funciones exponenciales?

• a) Siempre pasan por el punto (0,1).

• b) Su dominio es todos los números reales.

• c) Su rango son todos los números reales.

4. ¿Cuál de las siguientes funciones representa un crecimiento exponencial más rápido?

• a) f(x) = 2^x

• b) f(x) = 3^x

• c) f(x) = (1/2)^x

5. Dada la función exponencial f(x) = a^x, donde a > 1, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es CORRECTA sobre la función inversa de f(x)?

• a) La función inversa también es una función exponencial con base mayor que 1.

• b) La función inversa es una función logarítmica con base a.

• c) La función inversa no existe.

6. Si 2^(x+1) = 32, ¿cuál es el valor de x?

• a) 3

• b) 4

• c) 5

7. ¿Cuál es la relación entre la función exponencial y la función logarítmica?

• a) Son funciones idénticas.

• b) Son funciones inversas.

• c) No tienen relación.

8. ¿Cuál es el dominio de una función logarítmica?

• a) Todos los números reales.

• b) Todos los números reales positivos.

• c) Todos los números reales negativos.

9. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a log₂ 8?

• a) 2

• b) 3

• c) 4

10. ¿Cuál de las siguientes propiedades de los logaritmos es CORRECTA?

• a) log(a + b) = log(a) + log(b)

• b) log(a/b) = log(a) - log(b)

• c) log(a^b) = a * log(b)

11. ¿Cuál de las siguientes propiedades de los logaritmos es FALSA?

• a) log(a*b) = log(a) + log(b)

• b) log(a^n) = n*log(a)

• c) log(a-b) = log(a) - log(b)

12. ¿Cuál es el valor de log₁₀ 0.01?

• a) 2

• b) -2

• c) 0.02

13. ¿Cuál es la solución de la ecuación 2^(x+1) = 16?

• a) x = 2

• b) x = 3

• c) x = 4

14. Si 3^(2x-1) = 81, ¿cuál es el valor de x?

• a) x = 2

• b) x = 3

• c) x = 5/2

15. Resuelve la ecuación 5^(x+2) = 1/25.

• a) x = -4

• b) x = -3

• c) x = -2

16. ¿Cuál es la solución de la ecuación 4^(x-3) = 64?

• a) x = 5

• b) x = 6

• c) x = 7

17. Si log₂ 1 = x, ¿cuál es el valor de x?

• a) x = 2

• b) x = 0

• c) x = 1

18. Resuelve la ecuación log₃ (x+1) = 2.

• a) x = 8

• b) x = 9

• c) x = 10

19. ¿Cuál es la solución de la ecuación log₅ (2x-1) = 1?

• a) x = 2

• b) x = 3

• c) x = 4

20. Si log₄ (x²) = 4, ¿cuál es el valor de x?

• a) x = 8

• b) x = 16

• c) x = 32

E.  Composición de Funciones

1. Dadas las funciones f(x) = 2x + 1 y g(x) = x² - 3, calcula:

(f o g)(x)

(g o f)(x)

(f o f)(2)

2. Si h(x) = √(x+4) y k(x) = x² - 2, halla:

(h o k)(1)

(k o h)(0)

3. Sean f(x) = 1/(x-2) y g(x) = 3x + 1. Encuentra el dominio de (f o g)(x).

4. Dadas las funciones f(x) = |x| y g(x) = x³ - 1, grafica (f o g)(x).

5. Encuentra dos funciones f y g tales que (f o g)(x) = √(x² + 1).

6. Demuestra que la composición de funciones es asociativa, es decir, (f o g) o h = f o (g o h).

7. Si f(g(x)) = x² + 2x y g(x) = x + 1, encuentra f(x).

8. Encuentra todas las funciones g tales que (f o g)(x) = f(x) para toda función f. ¿Qué tipo de función es g?

9. Sean f y g funciones inyectivas. ¿Es (f o g) inyectiva? Justifica tu respuesta.

10. Sean f y g funciones sobreyectivas. ¿Es (f o g) sobreyectiva? Justifica tu respuesta.

11. Sean f(x) = 2x - 1 y g(x) = x². Calcula (f o g)(x) y (g o f)(x).

12. Sean f(x) = √(x+4) y g(x) = x² - 3. Calcula (f o g)(x).

13. Sean f(x) = 1/x y g(x) = x + 2. Calcula (g o f)(x) y especifica su dominio.

14. Sean f(x) = x³, g(x) = 2x + 1 y h(x) = √x. Calcula (h o g o f)(x).

15. Sean f(x) = |x - 2| y g(x) = x². Calcula (g o f)(x) y esboza su gráfica.

16. Sean f(x) = sen(x) y g(x) = x². Calcula (f o g)(π/2).

17. Si f(x) = 2x + 3 y g(x) = (x-3)/2, demuestra que (f o g)(x) = (g o f)(x) = x. ¿Qué significa esto en términos de funciones inversas?

18. Sean f(x) = { x² si x ≤ 0, 2x si x > 0 } y g(x) = x + 1. Calcula (f o g)(x) y (g o f)(x).

19. La temperatura en una ciudad se modela por la función T(t) = 20 + 5sen(πt/12), donde t es el tiempo en horas desde la medianoche. Si la sensación térmica se calcula como S(T) = T + 10√(T-20), ¿cuál es la sensación térmica a las 6 de la mañana?

20. Sea f(x) = cos(e^(tan(x))), ¿qué funciones hay que componer y en qué orden para obtener f(x)?

21. Sea f(x) = √(log₂(x² + 1)), ¿qué funciones hay que componer y en qué orden para obtener f(x)?

22. Sea f(x) = arcsen(ln(x)), ¿qué funciones hay que componer y en qué orden para obtener f(x)?

23. Sea f(x) = |ln(x² - 1)|, ¿qué funciones hay que componer y en qué orden para obtener f(x)?

24. Sea f(x) = { x² si x ≤ 0, ln(x+1) si x > 0 }, ¿qué funciones hay que componer y en qué orden para obtener f(x)?

25. Sea f(x) = sinh(cosh(x)), ¿qué funciones hay que componer y en qué orden para obtener f(x)?

F.  Dominio

G.  Región Solución de sistemas de inecuaciones