A.  Límites. Formas indet. 1^∞ - 0^0 - ∞^0

Resolver aplicando la Regla del Logarítmo y la Regla de L'Hopital:

1. lim (x → 0) (1 + x)^(1/x)

2. lim (x → ∞) (1 + 1/x)^x

3. lim (x → 0) (cos(x))^(1/x^2)

4. lim (x → 0) (1 + sin(x))^(1/sin(x))

5. lim (x → ∞) (1 + 1/x^2)^x

6. lim (x → 0) (1 + x^2)^(1/x)

7. lim (x → 0) (1 + tan(x))^(1/tan(x))

8. lim (x → ∞) (1 + 1/√x)^√x

9. lim (x → 0) (1 + x/2)^(2/x)

10. lim (x → 0) (1 + x sin(x))^(1/sin(x))

11. lim (x → 0) (x^2)^x

12. lim (x → 0+) (sin(x))^x

13. lim (x → 0+) (tan(x))^x

14. lim (x → 0+) (x)^(sin(x))

15. lim (x → 0+) (x)^(tan(x))

16. lim (x → ∞) (x)^(1/x)

17. lim (x → ∞) (ln(x))^(1/x)

18. lim (x → ∞) (x + 1)^(1/x)

19. lim (x → ∞) (x^2 + 1)^(1/x)

20. lim (x → ∞) (e^x)^(1/x)

21. lim (x → 0+) (x)^(1/ln(x))

22. lim (x → 0-) (1 + x)^(1/x)

23. lim (x → ∞) (1 + 1/x)^(x²)

24. lim (x → 0) (cos(x))^(1/x⁴)

25. lim (x → π/2-) (tan(x))^(cos(x))

26. lim (x → 0) (1 + x²)^(1/x²)

27. lim (x → 0) (1 + tan(x))^(1/x)

28. lim (x → ∞) (1 + 1/√x)^(x)

29. lim (x → 0) (1 + x/3)^(3/x)

30. lim (x → 0) (1 + x sin(x))^(1/x)

31. lim (x → 0+) (x)^(x²)

32. lim (x → 0+) (sin(x))^(sin(x))

33. lim (x → 0+) (tan(x))^(tan(x))

34. lim (x → 0+) (x)^(1/x)

35. lim (x → 0+) (x)^(√x)

36. lim (x → ∞) (x)^(1/√x)

37. lim (x → ∞) (ln(x))^(1/ln(x))

38. lim (x → ∞) (x + 2)^(1/x)

39. lim (x → ∞) (x³ + 1)^(1/x)

40. lim (x → ∞) (e^(2x))^(1/x)

B.  Problemas sobre recta tangente

Calcular la ecuación de la Recta Tangente y de la Recta Normal en el punto señalado:

1. Sea f(x) = x² - 3x + 2, calcular la ecuación en x = 2.

2. Sea f(x) = √(x+4), calcular la ecuación en x = 0.

3. Sea f(x) = 1/(x-2), calcular la ecuación en x = 3.

4. Sea f(x) = sin(x), calcular la ecuación en x = π/2.

5. Sea f(x) = e^x, calcular la ecuación en x = 0.

6. Sea f(x) = ln(x+1), calcular la ecuación en x = 1.

7. Sea f(x) = 2^x, calcular la ecuación en x = 0.

8. Sea f(x) = cos(x), calcular la ecuación en x = π.

9. Sea f(x) = tan(x), calcular la ecuación en x = π/4.

10. Sea f(x) = (x^2 + 1)/(x-1), calcular la ecuación en x = 2.

C.  Problemas sobre rapidez de variación

1. Imagina un globo esférico que se infla con aire a una velocidad constante de 10 cm³/s. ¿Con qué rapidez está cambiando el radio del globo cuando el diámetro es de 20 cm?

2. Un coche se mueve hacia el este a 60 km/h. Un segundo coche se mueve hacia el norte a 80 km/h. ¿Con qué rapidez está cambiando la distancia entre los dos coches?

3. Una escalera de 10 metros de largo descansa contra una pared vertical. Si el extremo inferior de la escalera se desliza alejándose de la pared a una velocidad de 2 m/s, ¿con qué rapidez está bajando el extremo superior de la escalera cuando el extremo inferior está a 6 metros de la pared?

4. En un instante un rectángulo tiene una longitud de 10 cm y un ancho de 6 cm. Si la longitud aumenta a una velocidad de 2 cm/s y el ancho disminuye a una velocidad de 1 cm/s, ¿con qué rapidez está cambiando el área del rectángulo?

5. En un instante un cono circular recto tiene una altura de 12 cm y un radio de base de 6 cm. Si el radio aumenta a una velocidad de 2 cm/s, ¿con qué rapidez está cambiando el volumen del cono si se sabe que h = 2r?

6. Una persona de 1.8 metros de altura camina alejándose de un farol de 5 metros de altura a una velocidad de 1.2 m/s. ¿Con qué rapidez está creciendo la sombra de la persona?

7. Un tanque cilíndrico vertical tiene un radio de 2 metros y una altura de 4 metros. Se está llenando con agua a una velocidad de 3 m³/min. ¿Con qué rapidez está subiendo el nivel del agua en el tanque?

8. Un avión vuela horizontalmente a una altitud de 1 km y a una velocidad de 500 km/h. ¿Con qué rapidez está cambiando la distancia entre el avión y un observador en tierra cuando el avión está a 2 km del observador?

9. Una bola de nieve esférica se derrite de tal manera que su superficie disminuye a una velocidad de 10 cm²/min. ¿Con qué rapidez está disminuyendo el volumen de la bola de nieve cuando el radio es de 5 cm?

10. Un embudo tiene la forma de un cono invertido con una altura de 10 cm y un diámetro de base de 10 cm. Se vierte agua en el embudo a una velocidad de 4 cm³/s. ¿Con qué rapidez está subiendo el nivel del agua cuando el agua tiene una profundidad de 5 cm?

D.  Problemas de optimización

1. Un granjero tiene 100 metros de valla para cercar un corral rectangular. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del corral para maximizar el área cercada?

2. Un granjero tiene 200 metros de valla para cercar un corral rectangular dividido en dos secciones iguales por una valla paralela a uno de los lados. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del corral para maximizar el área total cercada?

3. Se desea construir una caja rectangular sin tapa con un volumen de 1000 cm³. El material para la base cuesta $10 por cm² y el material para los lados cuesta $6 por cm². ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la caja para minimizar el costo total de los materiales? (ojo)

4. Una lata cilíndrica con tapa debe contener 1 litro de aceite. ¿Cuáles deben ser las dimensiones (radio y altura) de la lata para minimizar la cantidad de material utilizado?

5. Se va a construir un canalón para lluvia con forma rectangular utilizando una lámina de metal de 30 cm de ancho. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del canalón (ancho y alto) para maximizar la cantidad de agua que puede transportar? 

6. Una empresa quiere construir un oleoducto desde una plataforma marina hasta una refinería en tierra. La refinería está a 10 km del punto en la costa más cercano a la plataforma y la plataforma está a 20 km de la costa. El costo de construcción del oleoducto en tierra es de $50,000 por km y el costo en el mar es de $100,000 por km. ¿Cuál debe ser la ruta del oleoducto para minimizar el costo total de construcción?

7. Un avión se encuentra inicialmente en un punto A y se dirige hacia el este a una velocidad constante de 500 km/h. Otro avión se encuentra inicialmente en un punto B, situado 100 km al este del punto inicial de A, y se dirige hacia el norte a una velocidad constante de 600 km/h. ¿En qué momento la distancia entre los dos aviones es mínima?

8. Se va a construir un estacionamiento rectangular con un área de 800 metros cuadrados. El estacionamiento debe tener tres secciones iguales, divididas por dos líneas paralelas a uno de los lados. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del estacionamiento para minimizar la cantidad de valla necesaria?

9. Una ventana tiene forma de rectángulo coronado por un semicírculo. El perímetro total de la ventana es de 10 metros. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la ventana para maximizar el área de la ventana?

10. Se tiene una circunferencia de radio R. Se desea inscribir un triángulo isósceles en esta circunferencia de tal manera que su área sea máxima. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del triángulo isósceles (base y altura) para lograr esto? 

E.  Problemas de optimización - Extras

(En proceso de revisión)

1. Con un alambre de 1 m queremos construir el borde de un rectángulo de área máxima. ¿Qué dimensiones hay que dar al rectángulo?

2. Calcular dos números reales cuya suma sea 5 y su producto sea el mayor posible. Razonar la respuesta.

3. Indica cuál es el triángulo de área máxima de entre todos los isósceles de perímetro 30 cm.

4. Hallar las dimensiones de un depósito abierto superiormente, en forma de prisma recto de base cuadrada, de 500 m³ de capacidad que tenga un revestimiento de costo mínimo.

5. Se considera una ventana rectangular rematada en la parte superior por un triángulo. Sabiendo que el perímetro de la ventana es de 6,6 m hallar sus dimensiones para que su superfície sea máxima.

6. Una ventana normanda consiste en un rectángulo coronado con un semicírculo. Encontrar las dimensiones de la ventana de área máxima si su perímetro es de 10 m.

7. En una oficina de correos, solo se admiten paquetes con forma de paralelepípedo rectangular, tales que la anchura sea igual a la altura y además, la suma de ancho, alto y largo debe ser de 72 cm. Hallar las dimensiones del paralelepípedo para que el volumen sea máximo.

8. Una hoja de papel debe contener 18 cm² de texto impreso. Los márgenes superior e inferior deben tener 2 cm cada uno y los laterales 1 cm. Calcular las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea el mínimo.

9. Un jardinero desea construir un jardin con forma de sector circular. Si dispone de 20 m de alambre para rodearlo, ¿qué radio debe tener el sector para que el jardin tenga la mayor superfície posible?

10. Se desea construir una lata de conservas en forma de cilindro circular recto de área total 150 cm² y volumen máximo. Determinar su altura y su radio.

11. Hallar el radio de la base y la altura de un cilindro inscrito en una esfera de radio R en cada uno de los casos siguientes:

a) El volumen del cilindro es máximo

b) El área lateral del cilindro es máxima.

12. Un triángulo isósceles de perímetro 10 m gira alrededor de la altura relativa al lado no igual y genera un cono. Hallar sus lados para que el cono tenga volumen máximo.

13. Los barriles que se utilizan para almacenar petróleo tienen forma cilíndrica y una capacidad de 160 L. Hallar las dimensiones del cilindro para que la chapa empleada en su construcción sea mínima.

14. Determinar la distancia mínima del origen a la curva xy = 1.

15. Hallar los puntos de la curva y² = 6x cuya distancia al punto P(4, 0) sea mínima.

16. Hallar el punto de la parábola y = x² + x que está mas cerca del punto A(1, 0).

17. ¿Cuál es la mayor área que puede tener un rectángulo de lados paralelos a los ejes de cordenadas inscrito en la elipse de ecuación 4x² + y² = 1?

18. Los márgenes de un río tienen por ecuaciones: x − y = 2, x − y = −2. Dos pueblos A(−3, 2) y B(4, 0), se van a unir por una línea de ferrocarril que cruzará el río perpendicularmente. ¿En qué puntos de ambas orillas se construirá el puente para que el trayecto sea mínimo?

19. En una carrera a través del desierto un automobil debe ir desde la ciudad A hasta el oasis P situado a 500 km de distancia de A. Puede aprovechar para ello una carretera recta que une las ciudades A y B y que le permite ir a una velocidad de 100 km/h, mientras que por el desierto la velocidad es de 60 km/h. Sabiendo que la distancia más corta de P a la carretera que une las ciudades A y B es de 300 km, determinar la ruta que deberá usar para ir desde A a P en el menor tiempo posible.

20. Una fábrica situada a 12 km de la orilla de un río rectilíneo, ha de transportar sus productos a una ciudad situada en la orilla del río y a 80 km del punto de éste más próximo de la fábrica. El transporte de mercancías en camión cuesta 130 $ por tonelada y km y el transporte en gabarra por el río cuesta 50 $ por tonelada y km. ¿En qué punto de la orilla se debería cargar la mercancía en gabarras para que el coste total de transporte sea mínimo?

21. Se prentende fabricar una lata de conservas cilíndrica (con tapa) de 1 L de capacidad. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que se utilice el mínimo de metal posible?

22. Una fábrica elabora un producto de dos calidades distintas: x toneladas de baja calidad e y toneladas de alta calidad, siendo y = (18−5x)/(10−x). Hallar la cantidad de toneladas del producto de baja calidad que ha de producir para obtener ingresos máximos si el precio por tonelada de éste es la mitad que el de alta calidad.

23. Un triángulo isósceles tiene su lado desigual de longitud 12 cm y la altura sobre dicho lado es 5 cm. Determina los puntos sobre esa altura tales que la suma de sus distancias a los tres vértices sea máxima y mínima respectivamente.

24. Si de un disco metálico quitamos un sector circular podemos construir un vaso cónico. Determinar el sector circular que debemos quitar para que el volumen del vaso sea máximo.

F.  Dibujo de curvas mediante el cálculo diferencial

1. Dada la función f(x) = x^3 - 3x^2 + 1, analiza y dibuja la gráfica de la función.

2. Dada la función f(x) = x^4 - 4x^3 + 2, analiza y dibuja la gráfica de la función.

3. Dada la función f(x) = (x^2 - 1)/(x^2 + 1), analiza y dibuja la gráfica de la función.

4. Dada la función f(x) = x * e^(-x), analiza y dibuja la gráfica de la función.

5. Dada la función f(x) = ln(x)/(x), analiza y dibuja la gráfica de la función.

6. Dada la función f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x, analiza y dibuja la gráfica de la función.

7. Dada la función f(x) = (x^2 + 1)/(x - 1), analiza y dibuja la gráfica de la función.

8. Dada la función f(x) = √(x^2 - 4), analiza y dibuja la gráfica de la función.

9. Dada la función f(x) = x * ln(x), analiza y dibuja la gráfica de la función.

10. Dada la función f(x) = sin(x) + cos(x), analiza y dibuja la gráfica de la función en el intervalo [0, 2π].