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La tâche est inspirée de la tâche ESPER « Après deux retournements ». Elle vise les objectifs d’apprentissage suivants :
anticiper l’image d’une figure après deux symétries successives (ESPER & MSN21 : Anticipation de la forme et de la position d'une figure plane après une ou plusieurs isométries) ;
la reconnaissance, description et dénomination des isométries (translation, symétrie axiale, rotation) (MSN21) ;
la mise en œuvre de débat scientifique ;
la résolution de problèmes géométriques en lien avec les transformations étudiées : pose d'une conjecture, puis validation ou réfutation (MSN21).
En effet, cette tâche est en lien avec l’apprentissage visé 4 du chapitre 2 ARP en 7-8P : faire des essais, trouver une règle, la tester et si possible la valider et avec le chapitre 3 ARP en 7-8P : vérifier la réponse d’un problème. À noter que les éléments pour la résolution de problème, la pose d'une conjecture, puis validation ou réfutation, apparaissent aussi bien dans MSN21, MSN22, MSN23 et MSN24.
Le groupe LS a construit une leçon, avec des fiches A, B et C (voir la tâche sous la loupe), pour faire émerger le débat scientifique entre les élèves dans la résolution de la tâche. En effet, la configuration de la fiche A pourrait faire croire aux élèves que l’image de deux figures obtenues après deux retournements successifs peut s’obtenir par une symétrie axiale. Cette observation peut constituer une première conjecture. Les fiches B et C amènent les élèves à réfuter cette première conjecture par un contre-exemple et à émettre une seconde conjecture : l’image de deux figures obtenues après deux retournements successifs peut s’obtenir par une rotation. Cette seconde conjecture constitue le cas général (lorsque les deux axes de symétrie sont sécants).
Les élèves sont donc amenés à démontrer à l’aide d’un contre-exemple (situation de la fiche B) que la première conjecture est incorrecte.
Les élèves sont amenés à tester avec quelques exemples que la seconde conjecture est possible. Les connaissances mathématiques de 7-8P ne permettent pas de démontrer que la seconde conjecture est vraie. Le débat portera sur la confrontation des deux conjectures et sur les arguments des élèves pour les vérifier ou les invalider.
Pour en savoir plus
Pour en savoir plus
Pour aller plus loin, ce que dit le PER sur les transformations géométriques au cycle 1, 2 et 3
L’enseignement des transformations géométriques commence dès la 3-4P par l’observation de «ce qui change» et «ce qui ne change pas» lors de transformations géométriques (4) (MSN11). Dès la 5P, les transformations géométriques deviennent objet d’étude avec l’observation des principales propriétés (variants et invariants) des isométries. Le PER indique aussi qu’il faut «recourir à des supports variés, matériels ou logiciels, pour explorer les propriétés des figures et des transformations géométriques (puzzles, Tangram, surfaces ou plots, cubes, cubes emboîtables…)» (MSN11). En 5-6P, la reproduction d'une figure plane par translation ou par symétrie s’effectue au moyen de matériel (papier-calque, papier à réseau, ciseaux, miroir,…). En 7-8P, la reproduction d'une figure plane par une isométrie (translation, rotation, symétrie axiale) s’effectue au moyen de matériel (papier-calque, papier à réseau, ciseaux, miroir,…) et la construction d'une figure plane par une isométrie (translation ou symétrie) s’effectue à l'aide des instruments de géométrie. Au cycle 2, le PER précise que «Le repérage des axes de symétrie d'une figure et la construction de l'image d'une figure par une symétrie axiale peuvent poser problème lorsque l'axe de symétrie n'est pas parallèle aux bords de la feuille ou qu'il a des points communs avec la figure. Veiller donc à varier la direction des axes de symétrie» (MSN21).
Pour aller plus loin, ce que dit ESPER sur les transformations géométriques au cycle 1, 2
Dans ESPER, sont proposées une définition ponctuelle des transformations géométriques, puis une définition globale qui repose sur le mouvement du pliage de la feuille selon l’axe de symétrie. Une figure est l’image d’une autre figure par symétrie axiale si les deux figures sont superposables après retournement et que l’on peut superposer ces figures en pliant la feuille (voir lexique).
ESPER propose également une progression de l’enseignement des transformations géométriques aux cycles 1 et 2.
Sur les difficultés d’enseignement liées aux transformations géométriques
L’enseignement des transformations géométriques nécessite pour l’enseignant·e des connaissances spécifiques. Des recherches (par exemple Batteau & Dorier, 2018) ont montré que des enseignant·e·s de 5-6P ont des conceptions erronées sur l’enseignement des transformations géométriques : par exemple, une confusion entre l’isométrie (rotation, translation, symétrie) et l’image d’une figure par isométrie, une confusion entre l’axe de symétrie, la symétrie et l’image d’une figure par symétrie. Le fait qu’une isométrie transforme le plan en entier et non uniquement la figure est une mauvaise conception qui peut être renforcée par des activités proposées dans les MER (cycles 1, 2 et 3), dans lesquelles la figure seule est transformée par une isométrie. Une autre conception erronée est le fait d’assimiler une isométrie à un mouvement. Il est reconnu qu’il est utile de commencer l’enseignement des transformations géométriques en appui sur le mouvement (la symétrie vue comme un pliage par exemple), mais ce choix renforce également la mauvaise conception que l’isométrie ne transforme que la figure et pas le plan en entier (Bkouche, 1991). Ainsi en 7-8P, l’enseignement des transformations géométriques s’effectue encore en appui sur le mouvement (pliage, retournement), dans une approche globale (à partir des effets que la transformation fait subir aux figures), mais aussi dans une approche ponctuelle (transformation de tous les points du plan – voir commentaires ESPER 3-6 sur les transformations géométriques).
Quelques références permettant d'approfondir le sujet
Batteau, V. & Dorier, J.-L. (2018). L'enseignement des transformations géométriques à l'école primaire dans le cadre d'un dispositif de formation Lesson Study en Suisse Romande. Petit x (106), 5-38. http://www-irem-ujf-grenoble.fr/
Bkouche, R. (1991). De la géométrie et des transformations. REPERES-IREM, 4, 134-158.
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