Introduzione alla geometria

La geometria (dal greco antico γεωμετρία, composto da γεω, geo = "terra" e μετρία, metria = "misura", tradotto quindi letteralmente come misurazione della terra) è quella parte della matematica che si occupa delle forme nel piano e nello spazio e delle loro mutue relazioni.

Euclide di Alessandria

Euclide (ca. 325 a.C.; ca. 265 a.C) è il più importante matematico dell'antica Grecia, che visse (probabilmente) durante il regno di Tolomeo I (367 a.C. ca. - 283 a.C.). Della sua vita si sa molto poco, ma l'importanza delle sue opere ha fatto si che la sua fama lo seguisse fino ai giorni nostri, al punto da considerarlo il più importante docente di matematica di tutti i secoli!

Il suo nome è legato alla sua opera più famosa: gli Elementi, che costituiscono la più grande e completa opera di geometria dell'antichità. Euclide è menzionato in un brano del matematico Pappo, ma la testimonianza più importante su cui si basa la storiografia che lo riguarda viene da Proclo, che lo colloca tra i più giovani discepoli di Platone:

« Non molto più giovane di loro Ermotico di Colofone e Filippo di Medma è Euclide; egli raccolse gli "Elementi", ne ordinò in sistema molti di Eudosso, ne perfezionò molti di Teeteto, e ridusse a dimostrazioni inconfutabili quelli che suoi predecessori avevano poco rigorosamente dimostrato. Visse al tempo del primo Tolomeo, perché Archimede, che visse subito dopo Tolomeo primo, cita Euclide; e anche si racconta che Tolomeo gli chiese una volta se non ci fosse una via più breve degli Elementi per apprendere la geometria; ed egli rispose che per la geometria. non esistevano vie fatte per i re. Euclide era dunque più giovane dei discepoli di Platone, ma più anziano di Eratostene e di Archimede che erano fra loro contemporanei, come afferma in qualche luogo Eratostene. Per le idee Euclide era platonico e aveva molto familiare questa filosofia, tanto che si propose come scopo finale di tutta la raccolta degli Elementi la costruzione delle figure chiamate platoniche » (Proclo, Comm. Eucl., II, 68)

L'attività principale del matematico si colloca all'inizio del III secolo a.C. e ci fa supporre che Tolomeo lo abbia chiamato ad operare nella Biblioteca di Alessandria e nell'annesso Museo.

Elementi

Gli Elementi (in greco Στοιχεῖα) di Euclide sono, come detto, la più importante opera matematica giuntaci dalla cultura greca antica. Composti tra il IV e il III secolo a.C., rappresentano un quadro completo e definito dei principi della geometria noti al tempo.

Quest’opera prese il posto di tutti i libri precedenti di argomento analogo e servì come testo fondamentale nell’antichità e nel medioevo ed è stata usata come libro scolastico di geometria fino a tempi non troppo lontani da noi. La sua considerazione presso i Romani fu modesta, ma fu grandissima presso i Bizantini e gli Arabi. Proprio questi ultimi la reintrodussero in Europa dopo la perdita medievale, grazie alla traduzione di Abelardo di Bath (secolo XII). La diffusione dell’opera coincide con il periodo di rinascita degli studi matematici in Europa.

L'opera consiste in 13 libri: i primi sei riguardanti la geometria piana, i successivi quattro i rapporti tra grandezze (in particolare il decimo libro riguarda la teoria degli incommensurabili) e gli ultimi tre la geometria solida.

I diversi libri sono strutturati in:

• Definizioni (Horoi);
• Nozioni comuni (Koinai Ennoai);
• Postulati (Aitemata).

Euclide basa, nel libro I, il suo lavoro su 23 definizioni, che trattano i concetti di punto, linea e superficie, su 5 postulati e su 5 nozioni comuni, quelle che ora sono dette assiomi. Dei postulati non viene fornita alcuna dimostrazione.

Di seguito viene riportata la struttura degli Elementi.

• Libro I: I fondamenti della geometria in 23 Definizioni, 5 Postulati, 5 Assiomi e 48 Teoremi
• Libro II: L'algebra geometrica in 2 definizioni e 13 teoremi
• Libro III: La teoria dei cerchi in 11 definizioni e 37 teoremi
• Libro IV: Le costruzioni per figure inscritte e circoscritte in 7 definizioni e 16 teoremi
• Libro V: La teoria delle proporzioni in 18 definizioni e 25 teoremi
• Libro VI: Le figure simili e le proporzioni in geometria in 11 definizioni e 37 teoremi
• Libro VII: I fondamenti della teoria dei numeri in 22 definizioni e 39 teoremi
• Libro VIII: Le proporzioni continue nella teoria dei numeri in 27 teoremi
• Libro IX: La teoria dei numeri in 36 teoremi
• Libro X: La classificazione degli incommensurabili in 16 definizioni, e 115 teoremi
• Libro XI: La geometria solida in 28 definizioni e 39 teoremi
• Libro XII: La misura delle figure in 18 teoremi
• Libro XIII: I solidi regolari in 18 teoremi

Sistema assiomatico

Gli Elementi costituiscono l'esempio più antico di "sistema assiomatico materiale". Di seguito si riporta lo schema di un sistema assiomatico.

1. Vengono introdotti i concetti primitivi, ovvero tutti quei concetti su cui si basa la teoria (in geometria: punto, retta, piano).
2. Viene dato un insieme di enunciati che riguardano i termini primitivi, detti assiomi (postulati), che sono delle verità evidenti e che non possono essere dimostrate.
3. Viene data una lista di termini tecnici, detti definizioni, che non sono primitivi e che servono a definire enti nuovi sulla base di quelli già noti.
4. Vengono formulati degli enunciati, detti teoremi, che si deducono logicamente dalle definizioni e dagli assiomi.

Da quanto detto deduciamo che:

• i concetti primitivi sono tutti quei concetti semplici e intuitivamente noti, che non ammettono definizioni;
• gli assiomi, chiamati da Euclide nozioni comuni, sono delle proprietà evidenti che sono applicabili a tutte le scienze;
• i postulati sono delle proprietà evidenti che riguardano gli enti primitivi e che non vengono dimostrate;
• le definizioni sono delle proposizioni che servono ad introdurre nuovi enti (ad esempio: un segmento è una parte di retta delimitata da due punti);
• i teoremi sono delle proposizioni che devono essere dimostrate e sono costituiti da tre parti:
  • ipotesi: ciò che si accetta per vero;
  • tesi: ciò che si vuole dimostrare;
  • dimostrazione: insieme di deduzioni logiche che a partire dalle ipotesi portano alla tesi.

I postulati devono inoltre essere coerenti, ovvero non devono essere tra loro contraddittori, e indipendenti tra loro.

Definizioni e nozioni comuni

Estratti dal libro I (ed. Heath 1956)

Definizioni

DEF. 1 Punto è ciò che non ha parti.

DEF. 2 Linea è lunghezza senza larghezza.

DEF. 3 Estremi di una retta sono i punti.

DEF. 4 Linea retta è quella che giace ugualmente rispetto ai suoi punti.

DEF. 23 Parallele sono quelle rette che, essendo nelle stesso piano e venendo prolungate indefinitamente in entrambi le direzioni, non si incontrano fra loro in nessuna di queste.

Nozioni comuni

Noz. com. 1 Le cose che sono uguali a una stessa cosa sono anche uguali fra loro.

Noz. com. 2 E se a cose uguali si aggiungono cose uguali, le somme sono uguali.

Noz. com. 3 E se da cose uguali si sottraggono cose uguali, i resti sono uguali.

Noz. com. 4 E le cose che coincidono fra loro sono fra loro uguali.

Noz. com. 5 E tutto è maggiore della parte.