Si definisce modello matematico una versione semplificata e immaginaria della porzione di mondo da studiare, in cui è possibile effettuare calcoli esatti.

Lo scopo della costruzione di un modello è quello di rappresentare, in modo più fedele possibile, un determinato fenomeno reale, al fine di poter effettuare previsioni sullo stato in cui si troverà il sistema nel futuro ed essendo una versione semplificata, in un modello si tengono in considerazione solo gli aspetti del fenomeno che si intendono analizzare.

Un modello matematico descrive, quindi, l’evoluzione di un fenomeno o di un sistema: fornendo dei dati in ingresso (input) il modello restituisce dei dati in uscita (output). Il modello sarà quindi efficace se l’output è prossimo alle misurazioni effettuate nell’osservazione del fenomeno reale.

I modelli matematici sono spesso rappresentati da equazioni di varia tipologia che vanno risolte con i metodi matematici conosciuti. In tali equazioni sono presenti i parametri, ovvero le grandezze che non possono essere manipolate, e le variabili.

All’interno dei modelli matematici si effettua una distinzione fra modelli statici e modelli dinamici. Nel primo caso viene fotografato il fenomeno o il sistema ad un certo istante preciso, nel secondo caso il modello tiene in considerazione la variabilità del fenomeno o del sistema fisico nel tempo. Inoltre esistono modelli:

• deterministici, modelli in cui l’output è univocamente determinato dai dati di input;
• stocastici, modelli che tengono conto delle possibili variazioni dei dati di input e che forniscono output in termini probabilistici;
• lineari, modelli rappresentati da equazioni lineari;
• non lineari, modelli rappresentati da equazioni non lineari.

Come si intuisce, la capacità di previsione di un modello matematico dipende strettamente dai dati iniziali. Quando una variazione dell’input produce una forte variazione dell’output, la creazione del modello risulta più complessa e conduce all’elaborazione di modelli non lineari. Sistemi di questo tipo sono detti caotici e la forte dipendenza dai dati iniziali prende il nome di effetto farfalla. Sono esempi di fenomeni caotici tutti quelli riguardanti la meteorologia, di conseguenza è impossibile effettuare previsioni del tempo a lungo termine. Contrariamente a ciò sono fenomeni non caotici le eclissi, per tale ragione si possono prevedere con secoli d’anticipo.

Importanza dei modelli matematici

• Effettuare previsioni sullo stato futuro di un sistema fisico.
• Agire sul sistema fisico tentando di modificarne l’evoluzione.
• Indagare circa le proprietà del fenomeno o del sistema fisico.

Un modello fisico è una rappresentazione concettuale di un fenomeno reale che ha lo scopo di spiegarne il funzionamento.

Esso deve quindi essere semplice e rappresentare il sistema reale nelle condizioni di funzionamento, al fine di studiarlo mediante relazioni matematiche. La funzione fondamentale del modello fisico è, quindi, quella di ridurre ad un livello astratto l’evoluzione del sistema e tradurla in termini matematici. Tale traduzione consiste nella costruzione di un modello matematico, che risulta posizionarsi ad un livello di astrazione superiore rispetto al modello fisico. L’output fornito dalla risoluzione del modello matematico deve essere controllato con quanto previsto dal modello fisico.