MAA245 - Análise II (2024-1)

Pré-Requisitos

Álgebra linear e Análise na reta.

Ementa

Parte 1

A álgebra linear e topologia dos espaços euclidianos Rn; Espaços vetoriais normados, Espaços métricos e espaços topológicos;  Seqüências e Séries; Teorema de Bolzano-Weierstrass, Teorema de Heine-Borel, Teorema de Interseção de Cantor, Teorema da Cobertura de Lebesgue, Critério de Cauchy, Limite e Continuidade: Teoremas da continuidade global, da preservação da compacidade, da preservação da conexidade, da continuidade uniforme e ponto fixo para contrações.

Parte 2

Aplicações diferenciáveis de Rm em Rn: diferenciabilidade; regra da cadeia; regra de Leibniz; teorema de Schwarz; desigualdade do valor médio; fórmula de Taylor; Hessiana, pontos críticos não-degenerados, máximos e mínimos locais; teorema da função inversa; teorema da função implícita; aplicações.

Parte 3

Integrais múltiplas: definição de integral; conjuntos de medida nula; funções integráveis; teorema de Fubini; mudança de variáveis para integrais múltiplas.

Referências

1. E. L. Lima - Curso de Análise vol. 2, Rio de Janeiro, IMPA, Projeto Euclides, 2009.

2. E. L. Lima - Espaços Métricos, Rio de Janeiro, IMPA, Projeto Euclides, 2009.

3. J. M. Lee - Smooth manifolds. Springer New York, 2012. (Apêndices A, B e C)

4. M. Spivak - Calculus on manifolds: a modern approach to classical theorems of advanced calculus. CRC press, 2018.

5. J. R. Munkres - Analysis on manifolds. CRC Press, 2018.

A referência principal deste curso será o livro-texto 1, porém também vamos utilizar partes das outras referências acima para complementar o material de 1.

Avaliação

 Será baseada em:

a) Duas provas + 2a chamada/prova final (se necessário): 

• Prova 1 (Parte 1 da ementa): dia 03/05. 

• Prova 2 (Parte 2 da ementa): dia 05/06.

• 2a chamada/Prova Final (ementa inteira): dia 07/06.

• [NOTAS]

b) Listas de Exercícios: 

• Lista 1 (Entrega no dia da P1)

• Lista 2 (Entrega até o dia 07/06)

• Lista 3 [Parte 3 da ementa] (Entrega até o dia 23/06)

Atendimento de dúvidas e correções das listas e provas: na minha sala C-110-D de seg-qua-sex das 10h-12h.

Avisos

• A aula do dia 22/03/24 foi cancelada devido às condições climáticas adversas, conforme comunicado oficial da reitoria da UFRJ.

• Não haverá aulas nos dias 22, 24, 26 e 29 de Abril.

• O último dia de aula será 07/06/24.

• Se necessário, faremos reposição de algumas aulas ao longo do semestre.

Cronograma

Abaixo seguem os dias de aulas e provas de cada mês:

Parte 1 do curso.

• Março: 4 aulas

18, 20, (22 cancelada por condições climáticas)

25, 27, (29 é feriado)

• Abril: 9 aulas ; não haverá aulas dias 22, 24, 26 e 29.

(dia 01 reposto no dia 11), 03, 05

08, 10, 11, 12

15, 17, 19 

Encerrada a Parte 1 do curso.

• Maio: 10 aulas + P1

(01 feriado), 03 (dia da P1)

Parte 2 do curso.

06, 08, 10

13, 15, 17

20, 22 (paralisação UFRJ) , 24

27, 29, 31

• Junho: Parte 3 do curso 1 aula + P2 + 2C/PF

03 , 05 (dia da P2) , 07 (Segunda Chamada/Prova Final).