Grupos - 2025

Teoria de grupos

O conceito de simetria permeia a matemática e a física. Formalmente, codificamos a noção de simetria através de uma estrutura algébrica chamada de grupo. Assim, "objetos simétricos" podem ser estudados desde a ótica da Teoria de Grupos. O objetivo principal do curso consiste no estudo da álgebra por trás da noção de simetria, especificamente, estudamos grupos e sua estrutura. A linguagem algébrica permite organizar, entender e reconhecer diversos grupos através de construções algébricas abstratas, tais como: grupos gerados por elementos sujeitos a relações, produto direto, produto semi-direto, entre outras. Ao longo do curso, estudaremos vários exemplos de grupos e apresentaremos resultados de classificação de certas classes de grupos, por exemplo: grupos cíclicos, abelianos finitamente gerados, grupos finitos de isometrias, entre outros.

Ao lado, podemos apreciar um padrão simétrico na obra "Salmon Spirits" de Qwul’thilum (conhecido também como Dylan Thomas) artista indígena Coast Salish.

Ementa

O curso abordará os seguintes tópicos:

Conceitos básicos: definição de grupo e exemplos; homomorfismos de grupo; ordem de um grupo e ordem de elementos.
Construções de grupos: grupos quociente; produto direto; produto semi-direto.
Classificação de grupos: grupos cíclicos, grupos abelianos finitamente gerados; grupos finitos de isometrias.
Simetrias: ações de grupos; órbitas e estabilizadores; ações transitivas.
Teoria estrutural: grupos livres e teoria de grafos; teoremas de Sylow.
Aplicações.

Referências

M. Armstrong, "Groups and symmetry", Springer Verlag
A. Garcia, Y. Lequain, "Elementos de álgebra", Publicações IMPA
T. Hungerford, "Algebra", GTM Springer Verlag
J. Rotman, "An introduction to the theory of groups", GTM Springer Verlag

Aulas

Segundas de 08:00 a 09:30; Quartas das 10:00 às 11:30 na sala B09.

Monitoria

O estudante Matheus Soler é o monitor da disciplina neste semestre. A monitoria será realizada toda quinta-feira das 13:00 às 14:00 em sala a ser informada em breve.

Avaliação

A disciplina será avaliada através das seguintes componentes: listas de exercício (peso 50%); prova escrita no dia 05 de novembro (peso 20%); projeto de pesquisa individual a ser apresentado como seminário ou escrito em formato de survey (peso 30%). As datas das apresentações serão combinadas com a turma.

Listas de exercício

Lista 1 (entregar no dia 25 de agosto em aula)

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