Topologia Diferencial
Variedades suaves
Neste curso estudaremos uma classe importante de espaços, as chamadas variedades diferenciáveis ou variedades suaves. Temos interesse nas propriedades topológicas e diferenciais de tais espaços, mas também daremos especial atenção às aplicações. Na foto ao lado podemos ver uma variedade obtida por um processo de colagem de "células". Veremos no curso que toda variedade pode ser apresentada, topologicamente, desta forma.
Aulas
Teremos duas aulas por semana: Segundas às 8:00 e Quartas às 10:00 na sala B138 do IME.
A primeira aula será na quarta-feira 09 de agosto.
Avaliação
A disciplina será avaliada com uma apresentação de seminário sobre um tópico a ser escolhido por cada estudante e aprovado pelo professor. Além disso, cada estudante deve redigir um texto, em formato de notas de aula, com o conteúdo da sua apresentação. Este texto deve ser disponibilizado para os colegas antes do dia da apresentação do mesmo. Alguns possíveis temas incluem:
Partições da unidade: definição, existência de métricas Riemannianas
Densidade de funções suaves
Teorema da vizinhança tubular.
Variedades com bordo: definição e exemplos, colagem de variedades com bordo.
Transversalidade: topologia de Whitney, teoremas de transversalidade, teorema de whitney.
Grau topológico: definição e exemplos, índice de singularidades de campos de vetores, teorema de Poincaré-Hopf, número de interseção.
Teoria de Morse: lemma de Morse, níveis críticos, teoremas fundamentais da Teoria de Morse
Fibrados vetoriais, conexões e transporte paralelo
Morfismo de Chern-Weil
Equação de Yang-Mills e eletromagnetismo
Referências
W. de Melo, "Topologia das variedades", Coleção Fronteiras da Matemática - SBM.
V. Guillemin, A. Pollack, "Differential topology", Prentice Hall.
J. Lee, "Introduction to smooth manifolds", GTM Springer Verlag.
J. Milnor, "Topology from a differentiable viewpoint", Virginia University Press.
L. Tu, "Introduction to manifolds", Universitext Springer Verlag.