Tópicos de Física Matemática

IME- USP 2022

Descricão

O curso tem foco na chamada Teoria de Calibre (Gauge Theory) a qual, grosso modo, consiste no estudo do espaço de soluções de certas equações em derivadas parciais, as quais podem ser descritas em termos de conexões em fibrados principais ou vetoriais. Estas equações em geral têm origem na Física Matemática, por exemplo na descrição das forças eletro-fraca e forte. Nesta disciplina estamos interessados nos fundamentos geométricos da Teoria de gauge e suas aplicações.

Ementa

O curso está baseado parcialmente no excelente livro "Gauge Fields, Knots and Gravity" de J. Baez e J. Munian. Os tópicos que iremos estudar incluem:

Parte 1: Eletromagnetismo e Geometria

Equações de Maxwell; Variedades diferenciáveis, campos de vetores, formas diferenciais, cohomologia de de Rham e eletromagnetismo.

Parte 2: Teoria de gauge

Grupos de Lie; fibrados principais, conexões e curvatura, transporte paralelo; equação de Yang-Mills.

Parte 3: Teoria de Chern-Simons

Princípio de ação mínima; classes de Chern, o funcional de Chern-Simons; invariantes de nós (o polinômio de Jones)

Quando e onde?

Teremos aulas toda terça e sexta das 10:00 às 11:30 na sala 268 do bloco A do IME.

Material complementar

Descrição de fibrados vetorias via cocilos. Veja aqui.

Monitoria

O monitor da disciplina é o estudante de doutorado Fabricio Valencia. A monitoria acontece toda terça-feira das 14h às 16h na sala 268 do bloco A. E-mail: fabricio.valencia@ime.usp.br

Avaliação

Cada estudante pode escolher apenas uma das seguintes opções de avaliação:

Listas de exercício a cada duas semanas

Projeto final escrito em formato survey

Projeto final apresentado como palestra (os estudantes que escolherem esta opção devem organizar um mini-workshop no qual seus trabalhos serão apresentados para a turma toda)

Sugestões de projetos

- Topological quantum field theories (Livro de Joachim Kock)

- Einstein manifolds

- Algebras de Clifford e operadores de Dirac (Livro de Liviu Nicolaescu "Lectures on Seiberg-Witten invariants")

- Geometria complexa e operadores de Dirac (Livro de Liviu Nicolaescu "Lectures on Seiberg-Witten invariants")

- Equações de Seiberg-Witten (Livro de Liviu Nicolaescu "Lectures on Seiberg-Witten invariants")

- Efeito Bohm-Aharonov (Baez-Muniain)

- Algebroides de Courant e suas simetrias (Paper Bursztyn-Cavalcanti-Gualtieri)

- Gerbes, algebroides de Courant e aplicações (Para Hitchin "Brackets, forms and invariant functionals")

- Grupoides de Lie (Livro Moerdijk-Mrcun)

- Difeologias (Livro Iglesias-Zemmour)

- Relatividade geral (qualquer tópico do livro de José Natário ou Baez-Muniain)

- S^1-gerbes com conexões (survey Hitichin "Lectures on special Lagarangian submanifolds")

- Higher gauge theories (papers John Baez, Konrad Waldorf)

- Espaço de moduli de conexões planas (Livro Michele Audin "Torus actions on symplectic manifolds")

- Quantização geométrica (Livro Woodhouse)

- Quantizacão BRST de gauge theories

- Teoria de Chern-Weil (Livro Loring Tu "Differential geometry")

- Cohomologia equivariante e fase estacionária (Survey Hans Duistermaat)

- Supervariedades (paper D. Roytenberg "On the structure of graded symplectic supermanifolds")

- Estruturas de Poisson e variedades graduadas (paper D. Roytenberg "On the structure of graded symplectic supermanifolds")

- Supersimetria e cohomologia equivariante (qualquer tópico do livro de Guillemin e Sternberg)

Listas

Lista 1 (Entregar os problemas 2 e 4 na terça-feira 13 de setembro em aula)

Lista 2 (Entregar os problemas 4, 9 e 10 na sexta terça-feira 04 de outubro em aula)

Lista 3 (Entregar os problemas 6, 10 e 11 na sexta 21 de outubro em aula)

Lista 4 (Entregar os problemas 1, 4 e 5 na sexta 11 de novembro em aula)

Lista 5 (Entregar os problemas 6 e 7 na sexta 06 de dezembro em aula)

Referências

A principal referência do curso será o livro "Gauge fields, knots and gravitiy" de John Baez e Javier Munian.