Teoria de Grupos
O que é um Grupo?
Um grupo é um objeto algébrico que codifica uma noção geométrica fundamental em Matemática, a de simetria. Cada elemento de um grupo pode ser visto como uma simetria de algum objeto, incluindo: polígonos regulares, permutações de um conjunto finito, isometrias ou as transformações de Lorentz que correspondem às simetrias da Relatividade Especial. Por isso, entender a estrutura algébrica dos grupos se torna fundamental, tanto nas aplicações geométricas como no estudo teórico dos grupos. É comum encontrar grupos com "sobrenome", por exemplo: grupos algébricos, os grupos de Lie, os grupos finitos, entre outros. Este curso tem foco no estudo dos grupos finitos, mas sempre que possível apresentaremos exemplos interessantes de grupos infinitos.
Ementa
Neste curso cobriremos os seguintes temas:
Grupos, subgrupos, subgrupos normais e grupos quociente, Teorema de Lagrange
Homomorfismos de grupos, núcleo e imagem, Teoremas de isomorfismo
Grupos de permutações
Ações de grupo, órbitas e estabilizadores.
Teoremas de Sylow
Grupos abelianos
Tópicos adicionais
Aulas
As aulas serão realizadas na plataforma google meet.
Segunda-feira: 08:00-9:40 (Aula assíncrona)
Quarta-feira: 10:00-11:40 (Aula síncrona)
Monitoria
O monitor da disciplina será o estudante Rafael Severiano.
A monitoria acontecerá toda sexta das 14:00 às 16:00.
e-mail do Rafael: rafaelseveriano@usp.br
Avaliação
Listas de exercícios e um mini-projeto de pesquisa. Para mais detalhes de como elaborar seu projeto, veja o seguinte site.
Material de Estudo
Notas de aula.
Listas
Lista 1 (Entregar os exercícios 2 e 4 até quarta 15 de setembro)
Lista 2 (Para ser entregue na quarta 20 de outubro )
Lista 3 (Entregar os exercícios 1 e 5 até quarta 01 de dezembro )
Referências
Além das notas de aula, recomendo os seguintes livros:
M. Armstrong, "Groups and Symmetry", UTM Springer Verlag
T. Hungerford, "Algebra" GTM Springer Verlag
J. Rotman, "An introduction to the theory of groups" GTM Springer Verlag