砂による組市松紋の描画

砂による組市松紋の描画
割鞘奏太、野老朝雄、舘知宏 2023
Harmonized Chequered Pattern Drawn by Sand
Kanata Warisaya, Asao Tokolo, Tomohiro Tachi 2023

組市松紋は、ベースとなる菱形タイリングの辺の中点を結んだ長方形によって構成されています。これらの長方形の辺は、菱形の頂点と重心を母点とするボロノイ図の境界（2点を結ぶ線分の垂直二等分線）と一致します。
点状の穴がまばらに空いた板の上に砂を乗せると、穴から砂が落ちて円錐状の窪みができます。円錐の傾斜角は砂の摩擦で決まり（安息角）、すべての点で等しくなります。その結果、円錐どうしの交線が2点から等距離の位置に現れ、それらを真上から見るとやはりボロノイ図の境界と一致します。
本作品は、これらの性質を活かして砂で組市松紋を描く体験型の作品です。— 割鞘奏太

東京大学教養学部で開講される「図形科学演習I」では、ボロノイ図とMedial Axis（多角形図形に対するボロノイ図）を作図する課題があります。コンパスと定規で4週間かけて作図をしますが、砂を使えば1分ほどで描画することができます。点と点の間にはその垂直二等分線がひかれますが、点と線の間には放物線が現れます。なぜでしょうか？また、双曲線や楕円を描くにはどうしたらよいでしょうか？— 舘知宏

Harmonized Chequered Pattern comprises rectangles connecting the midpoints of the edges of the base rhombic tiling. The edges of these rectangles coincide with the edges of the Voronoi diagram generated from the vertices and centroid of the rhombi.
When sand is placed on a plate with sparse point-shaped holes, the sand falls through the holes to form a cone-shaped depression. The angle of inclination of the cone is determined by the friction of the sand (angle of repose) and is equal at all points. As a result, the intersections of the cones appear equidistant from the two points, and when viewed from above, they also coincide with the edges of the Voronoi diagram.
This work is a hands-on experience of sand drawing a Harmonized Chequered Pattern using these properties. — Kanata Warisaya