IL CORSO:
È un corso della Laurea Magistrale in Matematica, mutuabile dagli studenti del corso di Laurea in Matematica (3° anno, ma solo se si ha già seguito il corso di Teoria di Galois), e si svolge durante il 1° semestre. Il corso è una introduzione elementare alla Teoria Algebrica dei Numeri. Il corso è tenuto in lingua inglese.
Ci concentreremo sullo studio degli anelli di interi algebrici (il corrispettivo di ciò che Z è per Q, ma all'interno dei campi di numeri): in questi anelli generalmente si perde la fattorizzazione unica per gli elementi, ma la si riacciuffa per gli ideali (capiremo tra l'altro perché gli "ideali" si chiamano proprio così). Dal punto di vista storico, da un lato lo studio degli anelli di interi algebrici ha portato allo sviluppo della teoria degli anelli, e a sua volta esso è stato motivato dalla necessità di correggere la "miglior dimostrazione sbagliata" dell'Ultimo Teorema di Fermat! Il finale del corso sarà infatti la dimostrazione di Kummer dell'Ultimo Teorema di Fermat per i numeri primi regolari. La pagina del corso su elearning.uninsubria (su cui verranno caricati i materiali del corso, e attraverso la quale verranno mandate le comunicazioni ufficiali) è questa qua.
Prerequisiti: Algebra Lineare, Algebra 1 e 2, Teoria di Galois, un pizzico di curiosità (quello sempre!). In particolare, prima del corso vanno ripassate alcune cose di teoria degli anelli commutativi (Teorema Cinese del Resto per anelli commutativi, anelli Noetheriani, localizzazione di un anello...) e di Teoria di Galois (norma di un'estensione di Galois, estensioni ciclotomiche...).
Programma:
Introduzione e ripasso di algebra commutativa
Anelli di interi algebrici
Domini di Dedekind
Fattorizzazione di ideali
Ideali frazionari e il Gruppo delle classi di ideali
Geometria dei numeri di Minkovski e finitezza del numero classe
Teorema delle unità di Dirichlet
Campi ciclotomici
Numeri primi regolari e Ultimo Teorema di Fermat
Caratteri di Dirichlet e reciprocità di Gauss
Equazioni cubiche
Codice: SCC0719 - ADVANCED ALGEBRA B
CFU: 8
N. ore: 64
Orario: TBA