Els múltiples d'un nombre.

Els múltiples d'un nombre són tots aquells números que es poden obtenir a partir de la repetició d'aquell nombre. Per exemple, els múltiples de 4 són: 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28...

Una altra manera de trobar un múltiple d'un nombre és, simplement, multiplicant. Per exemple, si vull trobar un múltiple de 7 simplement puc multiplicar 7 x 5 = 35; o 7 x 12 = 84. És a dir, el 35 i el 84 són múltiples de 7.

Els múltiples d'un nombre són infinits.

Activitat: En grups, mitjançant la modelització de la recta numèrica, trobeu els múltiples de les targetes "Troba'm".

Casos especials.

Els múltiples d'1: Tots els números poden ser construïts a partir de la repetició de l'1. Per tant, tots els números són múltiples d'1.

Els múltiples de 0: Per molt que repetim el 0, no obtenim cap altre nombre. El 0 és l'únic nombre que no té infinits múltiples, ja que només en té un, ell mateix.

Múltiples comuns entre dos nombres.

Si tenim dos nombres, "X" i "Y":

· "X" té infinits múltiples.

· "Y" té infinits múltiples.

· Alguns números són alhora un múltiple comú de "X" i de "Y".

· El múltiple comú més petit entre dos nombres és el seu (MCM) Mínim Comú Múltiple (exceptuant el zero).

Activitat. Ara, per comprovar-ho segueix els següents passos:

1. Inventa't un valor per "X" i inventa't un valor per a "Y".

2. Troba varis múltiples de "X".

3. Troba varis múltiples de "Y".

4. Comprova si existeixen múltiples comuns entre la teva "X" i la teva "Y".

*** Si no en trobes, comprova que ho hagis calculat bé. Si segueixes sense trobar-ne, és que potser et falten uns quants múltiples més de X i de Y!

Activitat. Troba els 3 primers múltiples comuns entre els següents nombres. Després, indica el seu MCM (Mínim Comú Múltiple):

· 3 i 7

· 4 i 6

· 5, 8 i 10.

La divisibilitat és com un truc que ens ajuda a saber quins nombres són múltiples d'un altre.

Un nombre és divisible entre un altre quan, al dividir-los, la divisió és exacte. Per exemple:

· 15 és divisible entre 3 perquè 15 : 3 = 5 (i el residu és zero, és exacte).

  Això significa que 15 és divisible entre 3. També significa que el 15 és múltiple de 3.

· 17 NO és divisible entre 3. Si divideixes 17 entre 3, el quocient també és 5 però el residu és 2. També significa que el 17 NO és múltiple de 3.

Criteris de Divisibilitat.

Els criteris de divisibilitat són trucs per saber si un nombre és múltiple de un altre.

· Un nombre és divisible entre 2 si és parell.

· Un nombre és divisible entre 3 si la suma de les seves xifres és múltiple de 3.

· Un nombre és divisible entre 4 si les seves dues últimes xifres són múltiple de 4.

· Un nombre és divisible entre 5 si la seva última xifra és un 0 o un 5.

· Un nombre és divisible entre 6 si compleix el criteri de divisibilitat del 2 i del 3 a la vegada.

· Un nombre és divisible entre 9 si la suma de les seves xifres és múltiple de 9.

· Un nombre és divisible entre 10 si la seva última xifra és un 0.

· Un nombre és divisible entre 11 si la diferència entre la suma de les seves xifres en posició parell i la suma de les seves xifres en posició imparell és 0 o múltiple d'11.

Els Divisors d'un nombre.

Els divisors d'un nombre son tots aquells números que poden construir aquell nombre a partir de la seva repetició. Per exemple, anem a pensar quins son els divisors de 10:

Si repeteixo l'1 trobo el 10?

Si repeteixo el 2 trobo el 10?

Si repeteixo el 3 trobo el 10?

...

Així doncs, els divisors del 10 són...

Una altra manera de pensar-ho és que els divisors d'un nombre són tots aquells nombres entre els quals és divisible o, dit d'una altra manera, tots els nombres que el divideixen de manera exacta.

Això vol dir que els divisors d'un nombre es poden trobar dividint o aplicant els criteris de divisibilitat.

Els divisors d'un nombre son finits.

ACTIVITAT: Troba els divisors dels següents nombres.

Divisors de 10. Divisors de 20. Divisors de 66.

Divisors de 14. Divisors de 12. Divisors de 13.

Estratègies.

Aplicar els criteris de divisibilitat és una de les millors estratègies per trobar els divisiors d'un nombre. Una altra estratègia és la de buscar parelles de divisors.

Per exemple, per trobar els divisors de 48 puc buscar un divisor i pensar per quin nombre fa falta multiplicar-lo per trobar el 48.

· 1 x 48;         2 x 24;         3 x 16;         4 x 12;         6 x 8.

Així doncs, els divisors del 48 són: 1;  2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24 i 48.

Màxim comú divisor entre dos nombres.

El màxim comú divisor entre dos nombres es el divisor comú més gran entre ambdós.

Per trobar-lo, s'han de trobar els divisors del primer nombre, els divisors del segon nombre i fixar-se en quins son comuns entre tots dos.

Per últim, s'ha de seleccionar el que és més gran.

Nombres primers.

Tots els nombres són divisibles entre 1. Per tant, l'1 és divisor de tots els nombres.

Qualsevol nombre és divisible entre ell mateix. El propi nombre també es considera sempre un dels divisors del nombre.

Segons els divisors que té un nombre els números es poden classificar en Nombres Primers i Nombres Compostos.

Un nombres primer només té dos divisors: l'1 i ell mateix.

Els nombres compostos tenen algun divisor més a banda de l'1 i d'ell mateix.

L'1 també es considera un nombre primer.

ACTIVITAT: Fes l'activitat del garbell d'Erastotenes per trobar nombres primers.

Descomposició Factorial.

Aprendrem una nova manera de descomposar nombres. La idea és aconseguir descomposar nombres en una multiplicació de diversos factors que siguin nombres primers. Passos a seguir:

Observa el nombre, per exemple, el 30.

Pensa una multiplicació en què el seu resultat sigui 30.

Per exemple 3 x 10.

Ara, ens hem de fixar en els dos factors. Són nombres primers o nombres compostos? Els nombres primers ja no es poden descomposar més. Hem de continuar descomposant els nombres compostos fins que només tinguem nombres primers.

Descomposem el 10. Pensem una multiplicació que doni 10.

Per exemple 2 x 5.

De tal manera que ens queda que 30 = 3 x 2 x 5. Com que el 3 el 2 i el 5 són nombres primers, ja no puc descomposar-ho més.