Baby Geometri
anno accademico 2021/2022

La stable commutator length (scl) è un invariante di gruppi che appare in tante aree della matematica grazie a diverse incarnazioni: algebriche, topologiche e analitiche. In generale è difficile da calcolare, e un tema centrale lanciato da Gromov è stato capire quali valori di scl sono possibili nei gruppi finitamente presentati. In questo seminario presenterò scl nelle sue varie forme, e tempo permettendo spiegherò come azioni di gruppi su varietà in dimensione 1 producono esempi concreti e interessanti di valori. 

Per una varietà iperbolica fibrare su S^1 è una condizione, da un certo punto di vista, un po' paradossale. Innanzitutto è possibile solo in dimensione dispari, e in ogni caso le fibre sono forzatamente molto poco compatibili con la metrica. Il primo esempio in dimensione 3 si è avuto solo nel 1977 grazie a Jørgensen, mentre ad oggi si comprende molto bene la situazione, grazie al Teorema di geometrizzazione di Thurston. Dopo aver visto lo stato dell'arte in dimensione 3, vedremo come si può provare ad approcciare il problema in dimensione più alta. Vedremo in particolare come usare un metodo combinatorico dovuto a Jankiewicz, Norin e Wise per costruire una 5-varietà iperbolica che fibra su S^1, come fatto in un articolo in collaborazione con Italiano e Martelli.

Data una varietà iperbolica completa, è interessante chiedersi se sia possibile o meno deformarne la struttura iperbolica. Fatto ben noto è che le superfici iperboliche sono deformabili, mentre in dimensione più alta si ha maggiore rigidità. Nel 1964 Weil dimostrò che ogni varietà iperbolica chiusa di dimensione n ≥ 3 è infinitesimalmente, e dunque localmente, rigida, risultato che venne poi esteso da Garland e Raghunathan nel 1970 a varietà di volume finito e dimensione n ≥ 4. Ci si domanda allora cosa succeda se la varietà ha volume infinito, o magari bordo geodetico. Nel 2012 Kerckhoff e Storm hanno dimostrato che ogni varietà iperbolica compatta con bordo geodetico di dimensione n ≥ 4 è localmente rigida. Nel seminario introdurremo i concetti di deformazione della struttura iperbolica, rigidità locale e rigidità infinitesimale. Parleremo poi delle tecniche e delle idee principali della dimostrazione del teorema di rigidità di Kerckhoff-Storm.

L’obiettivo del seminario è quello di raccontare alcune connessioni profonde tra lo studio della topologia (in particolare, coomologia singolare, K-teoria, ecc) di certi spazi di moduli che appaiono naturalmente in geometria algebrica e lo studio di quantizzazioni (Yangiani, algebre quantiche) di certe algebre di Lie in teoria delle rappresentazioni. Non verrà assunta alcuna conoscenza pregressa della teoria degli spazi di moduli né delle algebre di Lie e loro quantizzazioni. 

Verso la fine degli anni 80 Shiota elabora una congettura sulla caratterizzazione degli insiemi semialgebrici S ⊂ R^n che siano immagini Nash di un qualche spazio euclideo. Nel 2018 Fernando risolve completamente la congettura di Shiota dimostrando inoltre che se S è immagine Nash di un qualche spazio euclideo allora è immagine Nash di R^n con n il più piccolo possibile (ovvero n = dim S). Noi abbiamo affrontato il caso compatto, ovvero la caratterizzazione delle immagini Nash della palla chiusa. Nella prima parte del seminario dopo aver richiamato alcune definizioni di base, in modo che il seminario sia il più autocontenuto possibile, mi concentrerò sulla cornice storica e sul quadro generale in cui questo problema si colloca. Nella seconda parte cercherò di spiegare le idee (sopratutto quelle geometriche) che abbiamo usato nella soluzione della congettura di Shiota nel caso compatto. 

Un invariante categorico è un intero positivo che conta il minimo numero di sottoinsiemi aperti 'semplici' necessari per ricoprire uno spazio topologico. Se per 'semplice' intendiamo contraibile, otteniamo la categoria di Lusternik-Schnirelmann. Se invece vogliamo che su tali insiemi un robot possa spostarsi in maniera automatica, otteniamo la complessità topologica di Farber. Infine, gli spazi 'semplici' in coomologia limitata sono gli spazi il cui gruppo fondamentale è amenabile. Lo scopo del seminario è introdurre questi invarianti omotopici attraverso esempi e relazioni reciproche. Tempo permettendo, vedremo come generalizzare il teorema di annullamento di Gromov per coomologia limitata in questo contesto.  

Nella prima parte del seminario verrà introdotto il problema dell’esistenza di embedding lisci, nel piano proiettivo complesso CP^2, di una famiglia di 4-palle razionali B_{p,q} aventi come bordo gli spazi lenticolari L(p^2, pq-1) (una 4-palla razionale è una 4-varietà con bordo la cui omologia razionale è la stessa della 4-palla B^4). Vedremo in particolare come il teorema di diagonalizzazione di Donaldson fornisce una forte condizione necessaria di tipo algebrico sulla coppia (p,q), e come per una sottofamiglia che soddisfa tale condizione è possibile costruire l’embedding liscio partendo da una decomposizione in manici di B_{p,q} e attaccando altri manici in modo da ottenere una 4-varietà diffeomorfa a CP^2. La costruzione fa uso di una particolare tipologia di decomposizioni in manici di 4-varietà, che chiameremo decomposizioni orizzontali. Vedremo come il loro utilizzo permette di trovare una famiglia di embedding di palle razionali che estende quelle precedentemente conosciute, con uno sguardo anche ai possibili utilizzi futuri (tra cui la potenziale costruzione di 4-varietà esotiche). 

Il setting della trattazione sarà una 3-varietà M compatta, orientabile, irriducibile e ∂-irriducibile. Cominceremo ricordando alcune nozioni fondamentali e introducendo una funzione b che, ad un certo intero k, associa il numero di classi di isotopia di superfici chiuse essenziali in M con caratteristica k. Enunceremo poi il Teorema principale dimostrato da Dunfield, Garoufalidis e Rubinstein che afferma che, sotto opportune ipotesi, la funzione generatrice della funzione b sopra citata è corta. Vedremo che questo risultato ci permette di ricavare informazioni sulla crescita della funzione b. Il resto del seminario sarà dedicato al percorso seguito nella dimostrazione del Teorema, che necessiterà di sviluppare la teoria sulle superfici normali rispetto ad una data triangolazione di M. 

Nello studio delle 3-varietà, una tecnica importante consiste nel definire norme o seminorme sui secondi gruppi di omologia o sui primi gruppi di coomologia a coefficienti reali. In particolare, gli esempi principali sono la norma di Thurston, definita su $H_2(M; \mathbb R)$ e $H_2(M, \partial M, \mathbb R)$ in base alla minima complessità (nel senso della caratteristica di Eulero) di una superficie che realizza una data classe di omologia, e la norma di Alexander, definita in modo algebrico su $H^1(M; \mathbb R)$ passando per il polinomio di Alexander. In questo seminario definiremo le due norme, illustrandone con esempi le principali proprietà, tra cui, in particolare, il collegamento tra la norma di Thurston e i fibrati $M \twoheadrightarrow S^1$. In seguito, andremo a esporre una disuguaglianza tra di esse dimostrata da Curtis T. McMullen, mostrando anche un esempio di disuguaglianza stretta. 

Se M è una 3-sfera di omologia razionale irriducibile, allora la congettura L-spazio prevede delle connessioni tra la sua omologia di Heegaard Floer, il suo gruppo fondamentale e l’esistenza di foliazioni tese su M. In questo seminario introdurrò questa congettura riportando dalla letteratura alcune evidenze in suo favore e mi soffermerò in particolare sulle foliazioni tese. Vedremo alcuni esempi per capire come costruire queste foliazioni e presenterò un teorema riguardante l’esistenza di foliazioni tese sui riempimenti di Dehn di alcune 3-varietà che sono fibrati sul cerchio con fibra un toro con k-buchi. Come applicazione vedremo come costruire queste foliazioni su alcune chirurgie di Dehn sul link di Whitehead. 

Lo spazio di Teichmüller è l'oggetto che classifica le strutture iperboliche di una superficie. La teoria dello spazio di Teichmüller si sviluppa quindi principalmente nell'ambito della geometria iperbolica, ma il suo studio ha forti collegamenti anche con geometria complessa e dinamica topologica. Nel seminario introdurremo diversi oggetti geometrici - come laminazioni e foliazioni - e alcune deformazioni - come i terremoti - che sorgono dallo studio delle superfici nel contesto iperbolico e in quello delle superfici di traslazione. Il nostro obiettivo sarà quello di illustrare un risultato di Maryam Mirzakhani che traccia un profondo e non banale collegamento tra le due teorie ed in particolare definisce un coniugio tra il flusso dei terremoti e il flusso degli orocicli.  

Quasi-Fuchsian manifolds, topologically, are hyperbolic 3 manifolds M that are homeomorphic to SxR, where S is a closed surface with genus g >1 . The "boundary at infinity of M" consists of two copies of S and we focus on the horizontal measured foliation of the Schwarzian derivatives obtained by uniformizing the two respective complex structures. We call them the "measured foliations at infinity of a quasi-Fuchsian manifold". Independently, measured foliations on S are well-studied objects. We discuss how given a pair of measured foliations (F,G) that fill a closed hyperbolic surface, tF and tG (where t>0 is small enough) can be realized as the measured foliations at infinity of a quasi-Fuchsian manifold which is sufficiently close to being Fuchsian. Starting from the definitions, the plan of the talk will be to give an idea of the setting of the theorem and see how it draws parallels to the case of bending measured laminations on the boundary of the convex core. 

Dato un diagramma di un nodo, è possibile determinare se si tratta del nodo banale? Questa domanda, apparentemente innocua, è rimasta irrisolta per più di 50 anni - dal 1910, quando Dehn per primo la propose, al 1961, quando Haken sviluppò gli strumenti necessari a risolvere questo e molti altri problemi di natura algoritmica relativi alla topologia delle 3-varietà. In questo seminario ci proponiamo di illustrare una versione dell'algoritmo di Haken per il riconoscimento del nodo banale. Dopo una breve panoramica del problema, introdurremo la nozione cruciale di superficie normale, che fornisce un modo efficiente di descrivere superfici immerse in una 3-varietà. Vedremo poi come tutte le superfici normali siano generate a partire da un numero finito di superfici fondamentali mediante un'operazione nota come somma di Haken. Infine, illustreremo come dalla finitezza di questo insieme di generatori consegua l'esistenza di un algoritmo per il problema del riconoscimento.  

La coomologia limitata è un campo di ricerca con applicazioni che vanno dalla topologia geometrica alla teoria dei gruppi. Esso ha avuto come pioniere M. Gromov negli anni '80 e tutt'oggi continua a essere oggetto di interesse per la ricerca matematica. Il seminario è a scopo introduttivo: inizieremo dalla definizione dei moduli di coomologia limitata di uno spazio e vedremo alcune delle loro proprietà base. Dopodichè cercheremo di capire quali sono le connessioni che essi hanno con altri campi di ricerca come la geometria iperbolica e la teoria geometrica dei gruppi. 

This talk will be concerned with the problem of obstructing concordance and equivalence to variously positive links. The talk will be organised as follows; first, we give an overview on positivity conditions for links and present the problem. Then, we describe some obstructions based on link polynomials, slice-torus link invariants and combinatorial invariants. Finally, we compare these results and show some examples. 

Amenable groups are small from a large scale geometric point of view. If a space can be covered by few subsets with amenable fundamental group, there are strong vanishing results for several invariants: simplicial volume, L^2-Betti numbers, and homology growth. We study the minimal number of such subsets needed to cover a space, the so-called amenable category. In the talk, we focus on aspherical spaces and compute this number for right-angled Artin groups. 

Knot theory is a subarea of low-dimensional topology - the study of smooth manifolds of dimension 4 or less. Classical knots are smooth embeddings of the (oriented) circle S^1 into R^3 (or into the 3-sphere), usually studied up to an equivalence relation called ambient isotopy. The concept of "sliceness" is a (natural) generalization in dimension 4 of the question whether certain knots are isotopic to the trivial knot (the so-called unknot). In the talk, we will define all the relevant terms and give examples of slice knots. Along the way, we will see some related important results from low-dimensional topology. For example, the study of slice knots is connected to the existence of "exotic" smooth structures on R^4. 

L'operazione di folding sui grafi, introdotta da Stallings, è uno strumento fondamentale nello studio di varie proprietà dei gruppi liberi. Nel seminario, introduciamo tale nozione e andiamo a mostrare alcune delle sue prime e più importanti applicazioni: queste includono la risoluzione del problema di appartenenza ad un sottogruppo, il teorema di Marshall Hall, il teorema di Howson.