Baby Geometri
anno accademico 2020/2021

La norma di Thurston è una funzione che associa a ogni elemento di H_2(M), dove M è una 3-varietà, la minima complessità di una superficie embedded che lo rappresenta (data dalla parte negativa della caratteristica di Eulero). Nel seminario vedremo che oltre a essere una norma, ha una palla unitaria che è un poliedro, e le sue facce sono collegate con le fibrazioni della varietà. Definiremo inoltre il concetto di foliazione, che è una versione "locale" di fibrazione, e vedremo la relazione esistente tra classe di Eulero di una foliazione e norma di Thurston. Quest'ultima aveva portato Thurston a formulare una congettura, che è stata confutata solo nel 2016 (quarant'anni dopo) da Yazdi e Gabai. 

In this talk I would like to give an exposition of Zeeman’s 1963 result that a nontrivial twist spin of a classical knot K is fibred by the punctured branched cover over K. We will also learn some fun facts about the fundamental group of the complement of a knotted surface, and if there is enough time will trisect these knotted surface groups. 

Parleremo di gruppi liberi, loro basi, e loro gruppi di automorfismi. Introdurremo le trasformazioni di Whitehead e l'algoritmo di Whitehead. Introdurremo alcuni spazi di fondamentale importanza nello studio di Aut(Fn) e di Out(Fn), come l'Outer Space e il Free Factor Complex. 

A codimension q-foliation is a partition of a manifold into submanifolds that locally looks like the fibers of a submersion onto the Euclidean space of dimension q. Foliations come with cohomological invariants - the most famous one being the Godbillon-Vey invariant/Thurston's "helical wobble" for codimension 1 foliations. We are going to present a modern version of Haefliger's construction of a characteristic map for foliations - organizing these invariants into a universal object. We will talk about groupoids, classifying spaces for groupoid principal actions, jet spaces and their canonical distribution, and the "Chern-Weil" construction of characteristic classes for foliations. 

In questo seminario presenteremo diversi metodi topologici e combinatori per costruire invarianti di nodi. Ci concentreremo in particolare sulla segnatura di Levine-Tristram, un classico invariante topologico la cui prima interpretazione combinatoria è stata recentemente congetturata da Kashaev, e presenteremo alcuni risultati parziali che corroborano la congettura. 

We will consider the deformation space of a complete, non-compact, hyperbolic 3-manifold of finite volume and which admits a geometric triangulation. In the orientable case, by results of Thurston and Neumann-Zagier, the deformation space can be parametrized by the generalized Dehn filling coefficients. The same strategy will be applied here to non-orientable 3-manifolds to parametrize deformations of the triangulation. If time allows it, we will also discuss the approach through the variety of representations, which, unlike the orientable case, gives rise to additional deformations which are unattainable through the triangulation.  

The classic braid groups B_n were introduced by Artin in 1925. The notion of surface braid groups, which generalises the notion of the braids was first introduced by Zariski. Then, during the 1960’s the surface braid groups were rediscovered by Fox who proposed an equivalent topological definition in terms of the fundamental group of configuration spaces. In this talk we will begin with the basic definitions and results about the surface braid groups. We will continue with describing the problem of a possible splitting of the Fadell–Neuwirth short exact sequence of surface braid groups. Moreover, we will present the braid groups of the real projective plane RP^2, and we will describe the problem of the possible splitting of the Fadell–Neuwirth short exact sequence in this case. Finally, we will present partial results concerning this splitting problem. 

Uno dei principali argomenti di interesse della geometria algebrica reale è lo studio degli insiemi algebrici reali e, in particolare, degli spazi topologici che ammettono modelli algebrici. In tal senso, il fine del seminario è dare una dimostrazione del teorema di Tognoli, ossia: Ogni varietà differenziabile compatta e connessa ammette un modello algebrico affine liscio. Questo risultato apparse negli Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa nel 1973 e rappresentò la soluzione di una congettura proposta da John Nash. Le tecniche coinvolte nella dimostrazione, dovendo coniugare l’aspetto algebrico e quello topologico-differenziale, derivano da diverse aree della geometria; cercherò quindi di dare una panoramica il più precisa possibile dei risultati generali per arrivare alla dimostrazione che diede Alberto Tognoli. Inoltre, queste tecniche hanno dato seguito ad un ricco campo di ricerca, attivo tuttora, portando ad altri esiti notevoli. In coda al seminario darò un’idea di alcuni di questi risultati più recenti.  

Heegaard-Floer homology is an invariant of 3-manifolds defined by P. Ozsváth and Z. Szabó in 2003. Over the last twenty years it rapidly became one of the main subjects of investigation in geometric topology. This is due to the fact that it is relatively easy to compute -in practice combinatorial, in contrast with other Floer theories- and to its groundbreaking applications to the study of knots and surgery. But there are also many other reasons why you should care about it. In this talk I will focus on the definition of this invariant which roughly boils down to counting pseudoholomorphic curves connecting submanifolds constructed with the help of an Heegaard splitting. 

Parleremo di coomologia limitata e coomologia a valori limitati. La prima, introdotta da Gromov nel 1982, si ottiene modificando la definizione della coomologia singolare di uno spazio topologico, imponendo che le cocatene considerate siano limitate. La seconda, introdotta da Gersten nel 1991, si ottiene modificando analogamente la definizione della coomologia cellulare di un CW-complesso (e diventa interessante quando il CW-complesso è infinito, tipicamente un rivestimento universale). Vedremo come queste due coomologie tendano a comportarsi in modo molto diverso, in un certo senso "speculare". Inoltre vedremo come la coomologia a valori limitati sia legata a disuguaglianze di tipo isoperimetrico. 

Grazie al teorema di Cartan-Hadamard è noto che il rivestimento universale di varietà Riemanniane complete, semplicemente connesse e a curvatura negativa è diffeomorfo a R^n. Da qui è possibile definire su tali varietà il bordo visuale, pensato come un bordo "all'infinito". Utilizzeremo questa struttura per definire fini geometricamente finite e infinite e vedremo come queste costruzioni si applicano nello studio di 3-varietà a curvatura negativa. 

One of the most exciting questions in 4-manifold topology is understanding different smooth structures on the same underlying topological manifold, and 'corks' provide one insight into this fun question. I will define this notion, present an example or two, and then try to roughly sketch the proof of the theorem which says that we can get any smooth structure of a given smooth 4-manifold by taking out some cork, and gluing it back with a different gluing map. Also, I will try to fly through some more recent results and possible further questions. 

The simplicial volume is an invariant of manifolds introduced by Mikhail Gromov in his pioneering article of 1982. Although it is a homotopy invariant, it turns out to be very strongly related with some other geometric invariants. We should all agree that a very natural question can be the following: what numbers can arise as simplicial volume of compact (or non-compact) d-manifolds? In this seminar, after defining the simplicial volume both in the compact and the non-compact case and saying why we should care about computing it, we will try to give a (partial) answer to this question, flying over some recent results that try to shed light on this age-old matter. At the end of the talk, we will focus a little bit our attention on the case of contractible open 3-manifolds. 

Manifold covers of right-angled polytopes were first introduced by Davis and Januszkiewicz in 1991 as a simple, combinatorial method to build manifolds by gluing copies of some polytope along its facets. Since then a number of techniques have been added to their initial work, allowing for a better understanding of the geometry of such manifolds, and many important, recent examples of 4- and 5-dimensional hyperbolic manifolds have arisen from this setting. In this seminar, we will introduce the notion of right-angled polytopes as orbifolds, present the basic construction of manifold covers and give an overview of the additional tools developed in recent years. We will conclude the seminar with a few examples and open problems of interest.