Baby Geometri
anno accademico 2019/2020

In questo seminario verranno introdotti alcuni concetti che stanno alla base della topologia di contatto. Vedremo come rappresentare oggetti 4-dimensionali e studiare problemi complessi armati solamente di matite colorate. Cosa aspettarsi da questo seminario? Il taglio sarà puramente topologico; si parlerà di varietà di contatto, ma non di "foliazioni caratteristiche su superfici convesse", si parlerà di varietà di Stein senza coinvolgere né "funzioni pluri-subarmoniche esaustive" né "coomologia di fasci analitici coerenti". 

Gli operad, definiti nel 1968 da Boardman e Vogt, descrivono in maniera elegante diversi tipi di strutture algebriche. In questo seminario lavoreremo con l'operad dei piccoli n-cubi C_n che, formato da spazi di configurazioni di cubi n-dimensionali, descrive la struttura algebrica degli n-esimi gruppi di omotopia. Verrà enunciato il "Recognition principle" (P. May 1972), una delle prime importanti applicazioni di questo operad, il quale dice che uno spazio X è debolmente omotopicamente equivalente a un n-iterated loop space se e solo se X ammette un'azione dell'operad dei piccoli n-cubi. Infine daremo una veloce descrizione dell'omologia di C_n e delle operazioni omologiche che è possibile definire sugli iterated loop spaces usando l'azione di questo operad. 

Il concetto di trisezione è stato introdotto da David Gay e Robion Kirby nel 2016, e consiste nella decomposizione di una 4-varietà (chiusa, connessa e orientata) in tre pezzi semplici, che permettono di codificare le proprietà della varietà nella struttura tridimensionale che descrive come i tre pezzi sono incollati fra loro. Tale costruzione è simile (nonché strettamente legata) agli spezzamenti di Heegaard di 3-varietà. In questo seminario, dopo aver riassunto brevemente i concetti di decomposizione in manici e spezzamenti di Heegaard, saranno presentate le principali proprietà delle trisezioni e forniti alcuni semplici esempi. Infine, come esempio di applicazione, sarà brevemente presentata la teoria delle bridge trisections per superfici embedded in 4-varietà. 

The volume conjecture is a conjecture between quantum topology and hyperbolic geometry. That states a certain limit of the colored Jones polynomial of a knot would give the hyperbolic volume of its complement. In this talk, I will explain how to calculate the Kashaev invariant and the volume conjecture, where the Kashaev invariant is equal to colored Jones polynomial under a certain condition. 

Il setting è quello delle superfici topologiche chiuse e connesse. In questo caso, un rivestimento ordinario è semplicemente un omeomorfismo locale, ovvero una funzione localmente modellata sulla mappa f(z)=z del disco complesso in sé. Un rivestimento ramificato ammette un numero finito di eccezioni in cui, sempre localmente, la mappa è del tipo f(z)=z^k con k strettamente maggiore di 1. In altre parole, i gradi locali sopra alcuni punti (detti punti di ramificazione) formano una partizione non banale del grado della mappa. Fissate due superfici S e S' e alcune partizioni di un intero, l'esistenza di un rivestimento ramificato tra S e S' le cui ramificazioni (ovvero le eccezioni al locale omeomorfismo) corrispondono alle partizioni scelte è quello che chiede il "problema di esistenza di Hurwitz", quesito ad oggi solo parzialmente risolto che risale agli ultimi anni del 1800. Nel seminario definiremo con calma il problema enunciando prima alcuni importanti risultati e poi la "prime degree conjecture", riguardo i rivestimenti ramificati della sfera di grado primo. Infine, cercherò di introdurre un utile strumento combinatorico nell'approccio al problema di Hurwitz, i "dessins d'enfant", e una semplice ma astuta tecnica di taglia-incolla con cui si dimostrano parallelamente alcuni risultati di F. Pacovih sui polinomi di Laurent. Questo lavoro è parte degli studi svolti durante il mio primo anno di dottorato sotto la supervisione di S. Francaviglia. all'Università di Bologna. 

Lo studio delle 3-varietà è fortemente collegato alla Teoria dei Nodi. In questo seminario ne mostreremo un esempio che passa attraverso lo studio dei rivestimenti ramificati della 3-sfera, enunciando e dimostrando un Teorema dovuto indipendentemente a Hilden e a Montesinos. Nel seminario definiremo dapprima i rivestimenti ramificati di superfici e mostreremo alcuni semplici risultati di esistenza che saranno poi generalizzati in dimensione 3 e che introdurranno il teorema principale. Dimostreremo infine che ogni 3-varietà chiusa e orientabile si può ottenere come rivestimento triplo della sfera ramificato lungo un nodo. 

The braid group is a hybrid object as it has, among others, topological and algebraic faces. This gave birth to two representation theories for this group, each of them having their own issues. One, due to R. Lawrence, is built as a homological action from configuration spaces and contains the first faithful representation of braid groups, while the other one comes from quantum algebra and provides knot invariants for instance. It turns out that these two theories are closely related although they are built very differently. We will present the two approaches, how they are related, and we will try to discuss the contribution of such a bridge between the two theories. 

Tra le nozioni di positività in geometria complessa è di particolare interesse quella di ampiezza. Un fibrato in rette su una varietà complessa si dice ampio se una sua qualche potenza tensoriale fornisce un embedding della varietà in uno spazio proiettivo. Come vedremo nel seminario, questo concetto puramente geometrico è caratterizzato numericamente dalla positività di certi integrali, grazie al risultato noto come Criterio di Nakai. Introdurremo la nozione di ampiezza per fibrati olomorfi di rango qualsiasi, enunciando poi il Teorema di Fulton-Lazarsfeld che caratterizza quali polinomi nelle classi di Chern di un fibrato ampio sono numericamente positivi. Tale risultato nasce dalla volontà di estendere il Criterio di Nakai a fibrati vettoriali anche se, come mostrato da Fulton, un tale criterio non può esistere in rango > 1. Nell'ultima parte del seminario parleremo della congettura di Griffiths, ossia una controparte puntuale del Teorema di Fulton-Lazarsfeld.