Родился он 18 марта 1842 на хуторе Индутовка Пирятинского уезда Полтавской губернии в семье козака Харитона Ефремовича Швайкевича и дворянки Ирины Трохимовны Зайковськой. Местный дьяк, который учил детей грамоте и письму, заметил у мальчика выдающиеся способности к рисованию; он настаивал на том, чтобы отец послал его учиться на художника. По семейному преданию он с родительского благословения на пару волов поехал в Петербург в раннем возрасте. В 1861 он становится вольнослушателем и в том же году за успехи в учебе был переведен в ученики Академии Искусств, учится вместе с Семирадским,  Репиным. Учился он там с 1861 гг. по 1873 год, получил четыре серебряные медали и малую золотую медаль за программу «Жертвоприношение Авраама». В 1874 г.. Он приезжает в Одессу, где и прожил основную часть своей жизни. Он работал преподавателем рисования в 1-й Ришельевской гимназии, Реальном училище Св. Павла и Институте благородных девиц. Здесь он издал свой учебник «Элементарный курс черчения и рисованные геометрических форм», который несколько раз переиздавался. А. Х. Швайкевич награжден орденом Анны II и III ст., Станислава II и III ст., Владимира IV ст.  и др. Женился он в 1885 г. на крестьянке Екатерине Ивановне Шаповаленко. У них родилось две дочери Ольга и Вера. В Одессе Александр Харитонович купил участок земли, где по своему проекту построил 3-этажный Доходный дом на 57 комнат. Его художественная мастерская была расположена на 3-м этаже под стеклянным куполом. В г. Пирятине в усадьбе на ул. Замковой, которую получил в наследство от отца, он построил имение, куда любил приезжать летом на отдых. А. Х. Швайкевич много работал и в конце жизни ослеп. Умер он 25 апреля 1919 года и похоронен на 2-м Христианском кладбище в склепе. Его художественные произведения частично сохраняются в архиве научно-исследовательского музея при Академии искусств в Петербурге, а также Одесском художественном музее находятся пять его работ. 

Сведения о нем у «Юбилейном справочнике Императорской Академии Художеств, 1864 - 1914 гг.", Ч. II, стр. 221, у Булгакова в «Наших художниках», а также в «Первом дополнении к короткому биографическому словарю ученых и писателей Полтавской губернии с половины XVIII в.» И. Ф. Павловского: «Выдающиеся люди Слипоридських хуторов, Гребенковский район, Полтавская область, Украина».