Divisione tra naturali

La divisione esatta è l’operazione inversa della moltiplicazione.ShareTweet

Infatti il risultato della divisione 15 : 5 è 3 perchè tre è quel numero che moltiplicato per 5 dà per risultato 15.

Analogamente anche 84 : 4= 21 perchè 21 x 4 = 84 divisione propria

Questa divisione si dice divisione esatta.

I numeri 84 e 4 si dicono termini della divisione e più precisamente 84 si dice dividendo e 4 si dice divisore. Il risultato 21 si dice quoziente naturale esatto o quoto.

Il quoziente naturale esatto fra due numeri naturali, di cui il secondo diverso da zero, è quel numero naturale, se esiste, che moltiplicato per il secondo dà per risultato il primo. In questo caso la divisione è detta propria.

La divisione esatta non è sempre possibile nell’insieme N dei numeri naturali e quindi l’insieme N non è chiuso rispetto alla divisione esatta. In questo caso quando il resto non è zero la divisione è detta impropria.

49: 6 = 8 ( resto 1) impropria

LO ZERO E L’UNO NELLA DIVISIONE

• Quando il dividendo è zero, il risultato è sempre zero: 0 : 6 = 0 infatti 6 x 0 = 0

• Quando il divisore è zero, la divisione è impossibile. Non esiste infatti un quoziente che, moltiplicato per 0, dia come risultato un numero diverso da 0: 5 : 0 impossibile .

• Quando il dividendo e il divisore sono zero la divisione è indeterminata, perchè qualunque numero moltiplicato per 0 dà come risultato 0.

• Quando il divisore è 1, il risultato è uguale al dividendo : 5 : 1 = 5.

• Quando si divide un numero per se stesso, il quoziente è 1: 5 : 5 = 1

ESEMPIO

8276:34=243 con resto di 14

PROVA DELLA DIVISIONE

Per eseguire la prova della divisione si farà:

dividendo = quoziente esatto per divisore ( se il quoziente è esatto)

dividendo = quoziente x divisore + resto ( se il quoziente è approssimato)

DIVISIONE PROVA

219:3 = 73 (resto 0) 73 x 3=219

326:6 = 54 (resto 2) 54 x 6 + 2 = 324+2 = 326

Mettendo in colonna avremo:

Nel caso il quoziente non sia esatto, la ricerca del risultato può proseguire, calcolando una o più cifre decimali, ottenendo così il quoziente decimale.

41: 4 = 10 resto 1 659 : 9 = 109 resto 5

Per calcolare il quoziente decimale scriviamo, dopo la cifra delle unità a destra del dividendo, una virgola e tanti zeri quante sono le cifre richieste dall’approssimazione voluta.

Nel quoziente, ottenuto procedendo nel solito modo, si scriverà una virgola prima di abbassare il primo zero delle cifre decimali del dividendo stesso.

Calcoliamo, per esempio, il quoziente fino ai centesimi della divisione 41: 4 e il quoziente fino ai millesimi della divisione 659:6

Esercizi

Le divisioni sono le operazioni più difficili da imparare che già dalle elementari sono ostiche per i bambini, ma la cosa fondamentale è la conoscenza ottima delle tabelline; senza essa fare una divisione risulta ancora più difficile.

Divisioni con i numeri decimali

DIVISIONE TRA UN NUMERO NATURALE E UN NUMERO DECIMALE E TRA DUE NUMERI DECIMALI

34 : 5,1 e 3,2 : 0,048

La cosa importante è eliminare dal divisore la virgola e lo si fa moltiplicando per 10,100,1000,..(applicando la proprietà invariantiva). a seconda di quanti numeri ci sono dopo la virgola quindi nel caso degli esempi avremo:

Si procede come se il dividendo fosse un numero naturale, e si scriverà la virgola prima di abbassare la prima cifra decimale.

DIVISIONE TRA UN NUMERO NATURALE E UN NUMERO DECIMALE E TRA DUE NUMERI DECIMALI

ESEMPIO

34 : 5,1 e 3,2 : 0,048

La cosa importante è eliminare dal divisore la virgola e lo si fa moltiplicando per 10,100,1000,..(applicando la proprietà invariantiva). a seconda di quanti numeri ci sono dopo la virgola quindi nel caso degli esempi avremo:

Finora, nell’eseguire una divisione, ci fermavamo sempre nel momento in cui il resto era più piccolo del divisore.

Grazie ai numeri decimali, si può andare avanti nella divisione.

• Si procede con il metodo imparato della divisione.

• Si trasforma il resto aggiungendo uno zero, quindi moltiplicando per 10 e si mette la virgola al quoziente per separare le unità dai decimo e si continua la divisione.

• Se occorre , si può proseguire aggiungendo al resto uno zero

Esercizi

Proprietà della divisione

PROPRIETA’ INVARIANTIVA

Moltiplicando o dividendo, per uno stesso numero diverso da zero entrambi i termini di una divisione il quoziente non cambia e il resto se c’è, rimane moltiplicato o diviso per quello stesso numero.

a : b = ( a x c) : ( b x c ) o a: b = ( a:c) : (b: c)

18 : 6 = 3 (18 x 5 ) : ( 6 x 5) = 90 : 15= 3

Se la divisione è impropria quindi prevede un resto, anche esso risulterà moltiplicato o diviso per il numero usato .

Per i numeri decimali tale proprietà si applicherà moltiplicando per 10,100,1000… per eliminare la virgola del divisore.

585,6 : 7,32 = (585,6 x 100) : ( 7,32 x 100) = 58560 : 732 = 80

PROPRIETA’ DISTRIBUTIVA

Per dividere una somma ( o una differenza) indicata per un numero, basta dividere ciascun termine per quel numero e addizionare o sottrarre i quozienti ottenuti .

(a + b ) : c = (a : c ) + ( b : c ) (a – b ) : c = (a : c) – (b : c)

( 36 + 48 ) : 12 = 84 : 12 = 7 ⇒ ( 36: 12 ) + ( 48 : 12 ) = 3 + 4 = 7

Questa proprietà si può applicare solo se la somma o la differenza sono dividendi e cioè sono i primi termini della divisione, infatti se è il contrario il risultato sarà diverso quindi non sarà possibile applicare tale proprietà.

72 : ( 6 + 3 ) = 79 : 9 ≠ 72 : ( 6 + 3 ) = 72 : 6 + 72: 3 = 12 + 24 = 36

Calcolo rapido di un quoziente

DIVISIONE DI UN NUMERO NATURALE PER 10, 100 ,1000 …

Per dividere un numero naturale per 10, 100, 1000,…si separano con una virgola, nel numero dato, da destra verso sinistra tante cifre decimali quanti sono gli zeri del divisore. Se nel numero dato mancano cifre si scrivono degli zeri alla sinistra del numero stesso e uno zero per la parte intera.

823: 10 = 82,3 ; 542: 1000 = 0,542

820 : 100 = 8,20 = 8,2 42000 : 1000 = 42, 000 = 42

DIVISIONE DI UN NUMERO DECIMALE PER 10, 100, 1000…..

Per dividere un numero decimale per 10, per 100, per 1000, …. si sposta la virgola nel numero dato verso sinistra di tanti posti quanti sono gli zeri del divisore. Se nel numero dato mancano cifre si scrivono degli zeri alla sinistra del numero stesso e uno zero per la parte intera.

342,5 : 100 = 3,425 3,87 : 1000 = 0,00387

Vedi gli esercizi

DIVISIONE DI UN NUMERO PER 5

Per dividere un numero per 5 si può moltiplicare il numero stesso per 2 e dividere il prodotto ottenuto per 10

36 : 5 = ( applichiamo la proprietà invariantiva)

= (36 x 2 ) : (5 x 2) = 72 : 10 = 7,2

DIVISIONE DI UN NUMERO PER 25

Per dividere un numero per 25 si può moltiplicare il numero stesso per 4 e dividere il prodotto ottenuto per 100.

32 : 25 = ( applichiamo la proprietà invariantiva)

= ( 32 x 4 ) : ( 25 x 4 ) = 128 : 100 = 1,28