三枝崎 剛 (Tsuyoshi Miezaki)

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線形代数で考える スペクトラル・グラフ理論入門

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Title: Jacobi polynomials for first-order generalized Reed--Muller codes. 

Abstract: In this paper, we give the Jacobi polynomials for first-order generalized Reed--Muller codes. We show as a corollary the nonexistence of combinatorial 3-designs in these codes. 

Fq first-order Reed--Muller codes と参照ベクトル T (|T|<5) に対して，ヤコビ多項式を決定した論文です．その系として得られる組合せデザインを決定しました．(04/09/2024)

Stanley の彩色対称関数は tree 全体の完全不変量と予想されておりますが，グラフの完全不変量ではありません．本論文では彩色対称関数より真に強い，グラフの完全不変量を構成しました．その過程において，universal graph series という概念を導入しています．これは全ての有限単純グラフを含むグラフの族です．この概念を用いて Stanley 予想を functional index という新たな不変量で特徴づけることを行いました．こちらの index の評価は興味ある問題です．(03/15/2024). 

2023年度

Stanley の彩色対称関数は tree 全体の完全不変量と予想されておりますが，グラフの完全不変量ではありません．本論文では彩色対称関数より真に強い，グラフの完全不変量を構成しました．その過程において，universal graph series という概念を導入しています．これは全ての有限単純グラフを含むグラフの族です．この概念を用いて Stanley 予想を functional index という新たな不変量で特徴づけることを行いました．こちらの index の評価は興味ある問題です．(03/15/2024). 

Title: Jacobi polynomials for first-order generalized Reed--Muller codes. 

Abstract: In this paper, we give the Jacobi polynomials for first-order generalized Reed--Muller codes. We show as a corollary the nonexistence of combinatorial 3-designs in these codes. 

Fq first-order Reed--Muller codes と参照ベクトル T (|T|<5) に対して，ヤコビ多項式を決定した論文です．その系として得られる組合せデザインを決定しました．(03/02/2024)

マトロイドの完全不変量を構成しました．マトロイドの完全多項式不変量は世界初ではないかと思います．アナウンスメントの論文はこちらです．Greene の定理はマトロイドの Tutte 多項式と符号の weight enumerator との関係を与えるものですが，その多変数化を目指してスタートした研究でした．こちらは現在でも未解決です．(02/10/2024)

Title: Convex subgraphs and spanning trees of the square cycles, 

Abstract: We classify connected spanning convex subgraphs of the square cycles. We then show that every spanning tree of C_n^2 is contained in a unique nontrivial connected spanning convex subgraph of Cn^2. As a result, we obtain a purely combinatorial derivation of the formula for the number of spanning trees of the square cycles. (02/06/2024)

Title: On the average hitting times of Cay(Z_N,{+1,+2}), 

Abstract: The exact formula for the average hitting time (HT, as an abbreviation) of simple random walks on Cay(ZN,{±1,±2}) was given by Y. Doi et al. [Discrete Applied Mathematics,313 (2022) 18-28]. Y. Doi et al. give a simple formula for the HT's of simple random walks on Cay(ZN,{±1,±2}) by using an elementary method. In this paper, using an elementary method also used by Y. Doi et al. [3], we give a simple formula for HT's of simple random walks on Cay(ZN,{+1,+2}). (02/06/2024)

2 元拡大平方剰余符号から 2-デザインが得られます．本論文では双対符号とあわせることにより 3-デザインが得られることを示しました．粟田円佳さん (B4) との共同研究です．粟田円佳さん (B4) により Fq 平方剰余符号においても同様の現象が発見されています．また 3 つ以上の符号を合わせて t-値が上がる手法も投稿中です．(01/11/2024). 

Title: Average hitting times in some f-equitable graphs, 

Abstract: It is known that the average hitting times of simple random walks from any vertex to any other vertex in distance-regular graphs are determined by their intersection array. In this paper, we introduce a new graph classification called f-equitable, utilizing both the equitable partition and the function f, which represents a generalization of distance-regular graphs. We determine the average hitting times from any vertex to any other vertex in f-equitable graphs by using their parameter referred to as the quotient matrix. Furthermore, we prove that there is some function f such that the Cartesian product of two strongly regular graphs is f-equitable. We then calculate the quotient matrix for these graphs and determine the average hitting times from any vertex to any other vertex in these graphs. In the same manner, we determine the average hitting times on some generalized Paley graphs. (12/20/2023)

Title: Jacobi polynomials and design theory II, 

Abstract: In this paper, we introduce some new polynomials associated to linear codes over F_q. In particular, we introduce the notion of split complete Jacobi polynomials attached to multiple sets of coordinate places of a linear code over F_q, and give the MacWilliams type identity for it. We also give the notion of generalized q-colored t-designs. As an application of the generalized q-colored t-designs, we derive a formula that obtains the split complete Jacobi polynomials of a linear code over F_q. Moreover, we define the concept of colored packing (resp. covering) designs. Finally, we give some coding theoretical applications of the colored designs for Type III and Type IV codes.

学生さんの論文を紹介いたします．こちらの論文では，split genus g Jacobi 多項式を定義し，それらの不変式論を用いて ternary と quaternary 符号から colored t-design を構成しています．今後は Frobenius 環の符号への一般化，Klein 環の符号への一般化を考えているとのことです． (11/21/2023)

体上の線形符号と線形マトロイドは同値な概念ですが、フロベニウス環上の線形符号と対応する概念は [Britz--Johnsen--Mayhew--Shiromoto (2012)] で半マトロイドとして定義されました．本論文では半マトロイドの調和 Tutte 多項式を導入して，フロベニウス環上の符号の m-tuple 重さ多項式との関係を与えました．[Britz--Shiromoto--Westerbäck (2015)] の Theorem 4 を含む一般化になっています．（[Britz--Shiromoto--Westerbäck (2015)] の Theorem 4 の主張と証明は間違いを含んでいます．）Thomas Britz さん，Himadri Chakraborty さん，Hopein Christofen Tang さん，研究室修士１年の石川麗菜さんとの共同研究です．石川麗菜さん (M1) は Jacobi--Tutte 多項式という新しい多項式を定義して，古典的な Greene 定理の新しい一般化を発見しています．こちらも近く公開いたします．(11/18/2023)

Title: On the average hitting times of weighted Cayley graphs. 

Abstract: In the present paper, we give the exact formula for the average hitting time (HT, as an abbreviation) of random walks from one vertex to any other vertex on the weighted Cayley graph Cay(Z2n,{±1}). Furthermore, we also give the exact formula for the HT's of random walks on the weighted Cayley graph Cay(ZN,{+1,+2}). (10/26/2023)

Power residue code を用いて 2-design 構造の無限系列を構成しました．こちらの論文の一般化です．学生の田中優帆さん (D2)，石川麗菜さん (M1)，粟田円佳さん (B4) との共同研究です．(10/24/2023). 

Title: t-designs obtained from two shells and exceptional examples of them. 

Abstract: In this paper, we construct 3-designs using extended quadratic residue codes over Fq and their dual codes. We give as a corollary 3-designs that do not follow from the transitivity argument and the Assmus–Mattson Theorem. (10/24/2023)

First-order Reed--Muller code と extended Hamming code の 4 次の Jacobi polynomial と harmonic weight enumerator を決定し，その系としてこれらの符号から 4-design が得られないことを示しました．符号の無限系列に対して，Jacobi polynomial と harmonic weight enumerator を決定した世界初の結果と思います．宗政昭弘先生（東北大学）との共同研究です．Fq first-order Reed--Muller codes への一般化は山口諒介さん (B4) によって証明 arXiv されました．(10/16/2023)

符号や格子の自己同型群の部分群 G に対して，G 同変な符号や格子，その不変量である重さ多項式やテータ級数の概念を導入しました．それらの関係も記述しています．(09/09/2023). 

Title: Jacobi polynomials for first-order generalized Reed--Muller codes. 

Abstract: In this paper, we give the Jacobi polynomials for first-order generalized Reed--Muller codes. We show as a corollary the nonexistence of combinatorial 3-designs in these codes. 

Fq first-order Reed--Muller codes と参照ベクトル T (|T|<5) に対して，ヤコビ多項式を決定した論文です．その系として得られる組合せデザインを決定しました．(09/06/2023)

2 元拡大平方剰余符号から 2-デザインが得られます．本論文では双対符号とあわせることにより 3-デザインが得られることを示しました．粟田円佳さん (B4) との共同研究です．粟田円佳さん (B4) により Fq 平方剰余符号においても同様の現象が発見されています．また 3 つ以上の符号を合わせて t-値が上がる手法，それらの格子と頂点作用素代数における類似も見つかっており，近く公表いたします．こちらも粟田円佳さん (B4) との共同研究です．(08/18/2023). 

Title: A new approach to pancyclicity of Paley graphs I, 

Abstract: Let G be an undirected graph of order n and let Ci be an i-cycle graph. G is called pancyclic if G contains a Ci for any i∈{3,4,…,n}. We show that the pancyclicity of specific Cayley graphs and the Cartesian product of specific two graphs. As a corollary of these two theorems, we provide a new proof of the pancyclicity of the Paley graph.

Paley graph に任意の長さのサイクルが存在することを示した論文です．私が学部生向けの授業でこの問題を紹介したところ、西村さんは翌週に完璧な証明を持ってきてくれて大変驚きました．最近ではグラフ上の hitting time 解析に関して強力な結果を得ており，こちらも近く投稿予定です．(08/10/2023)

グラフの Galois point という概念を定義しました．代数幾何学における Galois point のグラフ類似になっております．応用として，Galois point を用いた完全グラフの特徴づけを与えました．Galois point の個数がグラフの対称性を測る新しい指標になればと思っております．深澤知先生（山形大学）との共同研究です．(08/10/2023)

グラフの彩色多項式と Tutte 多項式の関係を与える Tutte--Grothendieck を調和多項式を用いて一般化しました．(08/06/2023)

Title: Exceptional designs in some extended quadratic residue codes, 

Abstract: In the present paper, we give proofs of the existence of a 3-design in the extended ternary quadratic residue code of length 14 and the extended quaternary quadratic residue code of length 18. 

p を素数とし，p = 1 mod 8 と仮定します．長さが p+1 の F_2 拡大平方剰余符号から 2-デザインが得られます．しかし一般に 3-design は得られません．最近，論文 [Bonnecaze--Sole (2021)] によって長さ 42 の拡大平方剰余符号の weight 10 のシェルは 3-デザインをなすことが発見されました．こちらの石川さんの論文では F_3 と F_4 上の拡大平方剰余符号から同様に 3-デザイン構造を発見し，その存在性に理論的な証明を与えております．石川さんの手法は Jacobi polynomial と harmonic weight enumerator を用いるもので，新奇性があり今後発展の可能性のある方法と思います．(06/27/2023)

符号の weight enumerator と符号に対応する置換群の cycle index は同値な概念であることが知られています [Cameron (2002)]．論文 [Miezaki--Oura (2019)] では置換群の complete cycle index を導入し，符号の高種数 weight enumerator と同値な概念であることを示しました．[Cameron (2002)] の一般化です．この論文では，置換群の joint cycle index と average complete cycle index を導入し，符号の joint weight enumerator と average complete weight enumerator との関係を与えました．上記 2 つの論文の大幅な一般化です．なお符号理論には MacWilliams 双対性が存在しますが置換群における類似は興味ある問題です．(06/02/2023)

Title: Exceptional designs in some extended quadratic residue codes, 

Abstract: In the present paper, we give proofs of the existence of a 3-design in the extended ternary quadratic residue code of length 14 and the extended quaternary quadratic residue code of length 18. 

素数 p で p = 1 mod 8 と仮定します．長さが p+1 の F_2 拡大平方剰余符号から 2-デザインが得られます．論文 [Bonnecaze--Sole (2021)] によって長さ 42 の拡大平方剰余符号の weight 10 のシェルは 3-デザインをなすことが発見されました．こちらの論文では F_3 と F_4 上の拡大平方剰余符号から同様に 3-デザイン構造を発見し，その存在性に理論的な証明を与えております．(05/08/2023)

Title: Jacobi polynomials and design theory II, 

Abstract: In this paper, we introduce some new polynomials associated to linear codes over F_q. In particular, we introduce the notion of split complete Jacobi polynomials attached to multiple sets of coordinate places of a linear code over F_q, and give the MacWilliams type identity for it. We also give the notion of generalized q-colored t-designs. As an application of the generalized q-colored t-designs, we derive a formula that obtains the split complete Jacobi polynomials of a linear code over F_q. Moreover, we define the concept of colored packing (resp. covering) designs. Finally, we give some coding theoretical applications of the colored designs for Type III and Type IV codes.

学生さんの論文を紹介いたします．こちらの論文では，split genus g Jacobi 多項式を定義し，それらの不変式論を用いて ternary と quaternary 符号から colored t-design を構成しています．今後は Frobenius 環の符号への一般化，Klein 環の符号への一般化を考えているとのことです． (04/14/2023)

Title: On the average hitting times of Cay(ZN,{+1,+2}), 

Abstract: The exact formula for the average hitting time (HT, as an abbreviation) of simple random walks on Cay(ZN,{±1,±2}) was given by Y. Doi et al. [Discrete Applied Mathematics,313 (2022) 18-28]. Y. Doi et al. give a simple formula for the HT's of simple random walks on Cay(ZN,{±1,±2}) by using an elementary method. In this paper, using an elementary method also used by Y. Doi et al. [3], we give a simple formula for HT's of simple random walks on Cay(ZN,{+1,+2}).  (04/06/2023)

2022年度

First-order Reed--Muller code と extended Hamming code の 4 次の Jacobi polynomial と harmonic weight enumerator を決定し，その系としてこれらの符号から 4-design が得られないことを示しました．符号の無限系列に対して，Jacobi polynomial と harmonic weight enumerator を決定した世界初の結果と思います．宗政昭弘先生（東北大学）との共同研究です．関係した研究を宗政昭弘先生，中空大幸先生，粟田円佳さん (B3) と進めており，もうすぐ公開いたします．また不変式環との関係した同様の話題を，複数の学生さんと進めておりこちらも近く公開いたします．(03/29/2023)

Assmus–Mattson の定理は，符号のパラメーターから組合せ論デザインの存在を保証する，代数的符号理論の最も重要な定理の一つです．この論文では，Nearly Type I 符号に対して Assmus–Mattson の定理をより強い結果にできることを示しました．それを用いて自己直交 2-(16,6,8) デザインの同型を除いた一意性も証明しております．（自己直交を仮定しない 2-(16,6,8) デザインは，少なくとも 10^8 個非同型なものが存在します．）なお自己直交 2-(16,6,8) デザインの自己同型群の位数は 73728 です．(03/24/2023)

「符号から得られる組合せ t-デザインの t 値は 5 以下」と予想され，代数的符号理論の重要未解決問題です．例えば t =5 の例の一つは，Mathieu 群を自己同型群として持つ Golay 符号で，t 重可移群の視点からも興味を持たれております．この論文は，k-weight 符号 (k = 5,6) という条件下でこの予想を証明しました．証明には楕円曲線，あるいは高次の曲線の整数解を全て求める必要があり，その結果次の予想 [Conjecture 5.2] を得ました．

Conjecture 5.2　Assmus--Mattson の定理を用いて k-weight 符号から t > k の t-デザインが得られたと仮定する．そのとき符号語の総数は完全符号のように二項係数の和 

\binom{n-1}{0}+...+\binom{n-1}{k-1} 

で表され，その整数解に対応する符号が存在しない，したがって t ≦ k である．

t > k くらい t の値が大きいと，すなわち対称性が高いと完全符号の条件の類似が現れるのは大変興味深い現象です．これらの結果や予想の格子や頂点作用素代数類似も存在すると期待しています．論文で使用したデータはこちらです．(03/13/2023)

Title: Convex subgraphs and spanning trees of the square cycles, 

Abstract: We classify connected spanning convex subgraphs of the square cycles. We then show that every spanning tree of C_n^2 is contained in a unique nontrivial connected spanning convex subgraph of C_n^2. As a result, we obtain a purely combinatorial derivation of the formula for the number of spanning trees of the square cycles.  (02/22/2023)

Rank 32 と 48 の extremal 2-modular lattices が minimum vector の集合で生成される，rank 24 と 36 の extremal 2-modular lattices が minimum vector とその次の長さのベクトルの集合で生成されることを示しました．証明には本論文で定義した pseudo-normalized Hecke eigenform の Fourier 係数の評価を用います．Pseudo-normalized Hecke eigenform とはある 2 つの Hecke eigenform の差になっているもので，今回定義したものは位数 2 の指標に対応した概念と考えられます．位数 n の pseudo-normalized Hecke eigenform も同様に定義可能です．これを用いて，今回の結果は Quebbemann の意味での ℓ-modular lattice へ一般化可能です．また符号や頂点作用素代数においても同様の問題が考えられます．Gabriele Nebe 先生との共著です．(02/14/2023)

マトロイドの調和 Tutte 多項式を導入し，双対性に関する公式を与えました．これを用いると，Bachoc による調和重さ多項式の MacWilliams 双対性の簡単な証明が得られます．こちらのデザイン理論への応用は今後の課題です．またこの論文の Frobenius 環上の符号や半マトロイドへの大幅な一般化が得られており投稿中です．こちらは Thomas Britz さん，Himadri Chakraborty さん，研究室 4 年生の石川麗菜さんとの共同研究です．4 年生の石川さんは Jacobi--Tutte 多項式という新しい多項式を定義して，古典的な Greene 定理の新しい一般化を発見しています．こちらも近く公開いたします．(02/02/2023). 

もうすぐ投稿予定の研究室学生の皆さんの論文を紹介します．こちらの論文では，splie genus g Jacobi 多項式を定義し，それらの不変式論を用いて ternary と quaternary 符号から colored t-design を構成しています．今後は Frobenius 環の符号への一般化，Klein 環の符号への一般化を考えているとのことです．(01/06/2023)

「符号から得られる組合せ t-デザインの t 値は 5 以下」と予想され，代数的符号理論の重要未解決問題です．この論文は，ternary 符号を仮定し，さらに k-weight 符号 (k = 2,3) という条件下でこの予想を証明しました．こちらの論文の続編です．系として完全符号の新たな特徴づけ（予想）を与えています．t-デザインの t 値が大きいと，すなわち対称性が高いと完全符号の条件の類似が現れるというものです．これらの結果や予想の格子や頂点作用素代数類似は存在するでしょうか．なお論文で使用したデータはこちらです．(01/06/2023)

体上の線形符号と線形マトロイドは同値な概念ですが、フロベニウス環上の線形符号と対応する概念は [Britz--Johnsen--Mayhew--Shiromoto (2012)] で半マトロイドとして定義されました．本論文では半マトロイドの調和 Tutte 多項式を導入して，フロベニウス環上の符号の m-tuple 重さ多項式との関係を与えました．[Britz--Shiromoto--Westerbäck (2015)] の Theorem 4 を含む一般化になっています．（[Britz--Shiromoto--Westerbäck (2015)] の Theorem 4 の主張と証明は間違いを含んでいます．）Thomas Britz さん，Himadri Chakraborty さん，研究室 4 年生の石川麗菜さんとの共同研究です．4 年生の石川さんは Jacobi--Tutte 多項式という新しい多項式を定義して，古典的な Greene 定理の新しい一般化を発見しています．こちらも近く公開いたします．(10/29/2022)

この論文では符号の平均 Jacobi 多項式を導入し，その MacWilliams 型の変換公式を与えました．応用として，吉田知行先生によって定義された平均交叉数を一般化した，Jacobi 平均交叉数を導入して，デザイン理論との関係した予想を一つ提示しております．たとえば Type II 符号に限ると (Jacobi) 平均交叉数は，長さを無限大にしたときある定数に収束すると予想されます．その符号理論的，あるいは群論的な解釈は今後の課題です．また交叉数をベクトル空間の交わりの次元に置き換えても似た結果が得られると予想しております．この結果の格子，頂点作用素代数類似も気になるところです．(10/28/2022)

[Bondarenko (2010)] によって，E8 ルート系から 35 次元の optimal antipodal spherical design の構成が与えられましたが，この結果は spherical 5-design から高次元の spherical 3-design の構成へ一般化できることを示しました．たとえば Leech 格子のミニマムから 299 次元の spherical 3-design が構成されます．ところで 299 次元というのは Griess-Conway 代数の表現空間の次元の一つとしてよく知られています．この spherical 3-design を用いて自然に Griess-Conway 代数の表現空間が得られるかどうかは気になる問題です．(10/13/2022)

「符号から得られる組合せ t-デザインの t 値は 5 以下」と予想され，代数的符号理論の重要未解決問題です．例えば t =5 の例の一つは，Mathieu 群を自己同型群として持つ Golay 符号で，t 重可移群の視点からも興味を持たれております．この論文は，k-weight 符号 (k = 5,6) という条件下でこの予想を証明しました．証明には楕円曲線，あるいは高次の曲線の整数解を全て求める必要があり，その結果次の予想 [Conjecture 5.2] を得ました．

Conjecture 5.2　Assmus--Mattson の定理を用いて k-weight 符号から t > k の t-デザインが得られたと仮定する．そのとき符号語の総数は完全符号のように二項係数の和 

\binom{n-1}{0}+...+\binom{n-1}{k-1} 

で表され，その整数解に対応する符号が存在しない，したがって t ≦ k である．

t > k くらい t の値が大きいと，すなわち対称性が高いと完全符号の条件の類似が現れるのは大変興味深い現象です．これらの結果や予想の格子や頂点作用素代数類似も存在すると期待しています．論文で使用したデータはこちらです．(08/19/2022)

Assmus–Mattson の定理は，符号のパラメーターから組合せ論デザインの存在を保証する，代数的符号理論の最も重要な定理の一つです．この論文では，Nearly Type I 符号に対して Assmus–Mattson の定理をより強い結果にできることを示しました．それを用いて自己直交 2-(16,6,8) デザインの同型を除いた一意性も証明しております．（自己直交を仮定しない 2-(16,6,8) デザインは，少なくとも 10^8 個非同型なものが存在します．）なお自己直交 2-(16,6,8) デザインの自己同型群の位数は 73728 です．(08/18/2022)

符号と参照ベクトルを用いて Jacobi 多項式が定義されます．この論文では複数の参照ベクトルを用いた多重 Jacobi 多項式を定義し，P.J. Cameron 先生による一般化デザイン理論との関係を調べました．あわせて [Bonnecaze et al. (1999)] の結果を Type III と IV へ一般化しております．研究室 D1 の田中優帆さんとの共著です．今回定義した多重 Jacobi 多項式の高種数版を Himadri Chakraborty さん，Nur Hamid さん，大浦学先生と定義しており近く発表予定です．また，色付きデザインへの一般化を  Himadri Chakraborty さん，研究室の田中優帆さん (D1)，石川麗菜さん (B4) と進めております．(07/22/2022)

符号の Jacobi 多項式は小関道夫先生によって導入されました．その後，小関先生や大浦学先生のグループによって F2-符号，高種数へ拡張されています．この論文では，任意のガロア体，ガロア環上の符号に対して，高種数 Jacobi 多項式，交叉数多項式を定義してそれらの関係性を調べました．Jacobi 多項式は多くの応用が知られていますが，中でも最も成功を収めたのは [Bachoc (1999)] や [Bonnecaze et al. (1999)] による符号から得られるデザインへの応用です．今回定義した高種数 Jacobi 多項式のデザイン理論への応用が存在するかどうかは気になる問題でしょう．これについて，研究室の田中優帆さん (D1)，石川麗菜さん (B4) と研究を進めております．また坂内英一先生と小関先生によって Jacobi 多項式から Jacobi 形式への写像，Bannai-Ozeki 写像が定義されました．（古典的な Broué–Enguehard 写像の一般化．）こちらは，我々の定義した高種数 Jacobi 多項式から高種数 Jacobi 形式への写像へ一般化できると期待しております．さらにマトロイド不変量 Tutte 多項式への応用があり，こちらも Thomas Britz さん，Himadri  Chakraborty さん，石川麗菜さんと研究中です．符号理論とマトロイド理論の間には，まだまだ隠れた豊かな相互理論が存在していると感じます．(07/12/2022)

Ramanujan のデルタ関数の Fourier 係数は非ゼロと予想されています．これは E8 格子に 8-design が存在しないことと同値です．一方 E8 格子から 7-design は得られます．このように extremal 格子から t-design が得られ，さらに (t+1)-design が得られるかどうかは整数論とも関係する重要問題（Lehmer 型問題と呼ばれます）です．この論文では，この符号理論における類似を考え extremal Type III, IV に限っては Lehmer 型問題を肯定的に解決しました．この問題は符号や格子に限らず，頂点作用素代数などにおいても考えることができますが，あるクラスで Lehmer 型問題を解決した世界初の結果です．(07/01/2022)

代数的符号理論の重要未解決問題に「符号から得られる組合せ t-デザインの t 値は 5 以下」というものがあります．例えば t =5 の例の一つは，Mathieu 群を自己同型群として持つ Golay 符号で，t 重可移群の視点からも興味を持たれております．この論文は，k-weight 符号という条件下でこの予想を確認したものです．この問題の背景には楕円曲線，あるいはさらに高次の曲線の整数解と関係があることが最近になって判明し，現在こちらも論文を執筆中です．先に紹介した未解決問題へ一歩近づく結果と考えております．また応用として古典的な二元拡大 Golay 符号の新しい特徴付けを与えました．格子・頂点作用素代数類似も成立していると予想されます．(04/20/2022)

2021年度

この論文では新しいグラフ不変量を定義し，この多項式を用いて Tutte--Grothendieck の定理（Tutte 多項式と deletion--contraction 多項式の関係）を一般化しました．この不変量の定義は素朴なもの（符号理論で用いるアイデアのグラフにおける類似）ですが，不変式論やモジュラー形式と将来関係すると期待しております．また早稲田大学の学生さん（Chong Zheng さん）との初めての共著論文となりました．(03/28/2022)

2020年度以前