8. Interpolazione statistica

Nello studio dei legami fra due variabili statistiche, partendo da un insieme di coppie (x_i, y_i) di dati rilevati, si determina, se possibile, una funzione y = f(x) che rappresenti il fenomeno.

Vari sono gli scopi della ricerca di tale funzione; fra essi ricordiamo:

- descrivere sinteticamente la relazione fra due variabili osservate;

- determinare la legge di distribuzione dei dati statistici;

- ricavare eventuali dati intermedi mancanti;

- correggere valori affetti da errori accidentali o perturbati da cause secondarie.

Per trovare una funzione che rappresenti il fenomeno si può procedere in due modi:

- determinare una funzione che assuma esattamente i valori (x_i, y_i) rilevati; questo procedimento viene detto interpolazione per punti noti, o interpolazione matematica;

- determinare una funzione il cui grafico “si accosti” il più possibile ai punti del diagramma a dispersione; questo procedimento viene detto interpolazione (o perequazione) fra punti noti, o interpolazione statistica.

Metodo dei minimi quadrati

La condizione di accostamento data dal metodo dei minimi quadrati è: determinare la funzione interpolante in modo che sia minima la somma dei quadrati delle differenze fra i valori osservati y_i ed i valori teorici f(x_i), cioè

Funzione interpolante: retta

La funzione scelta è:

con a e b parametri reali.

La condizione di accostamento diventa:

Calcolando le derivate parziali prime rispetto ad a e b e annullandole si giunge ai valori dei parametri:

Funzione interpolante: esponenziale

La funzione è:

Applicando il logaritmo ai due membri si giunge a:

Ponendo:

Si ricava:

Da questa equazione possiamo ricavare l’equazione della retta interpolante, che verrà poi trasformata in funzione esponenziale. Utilizzando i valori trasformati, però, la condizione di minimo è valida per le funzioni trasformate e non per quelle assegnate, così l’equazione della funzione interpolante potrebbe essere approssimata; tuttavia in questo caso dato che i valori trasformati sono stati calcolati con Excel si giunge al medesimo risultato.

Calcolo della funzione esponenziale con il metodo dei minimi quadrati