Nello studio dei legami fra due variabili statistiche, partendo da un insieme di coppie (xi, yi) di dati rilevati, si determina, se possibile, una funzione y = f(x) che rappresenti il fenomeno.
Vari sono gli scopi della ricerca di tale funzione; fra essi ricordiamo:
- descrivere sinteticamente la relazione fra due variabili osservate;
- determinare la legge di distribuzione dei dati statistici;
- ricavare eventuali dati intermedi mancanti;
- correggere valori affetti da errori accidentali o perturbati da cause secondarie.
Per trovare una funzione che rappresenti il fenomeno si può procedere in due modi:
- determinare una funzione che assuma esattamente i valori (xi, yi) rilevati; questo procedimento viene detto interpolazione per punti noti, o interpolazione matematica;
- determinare una funzione il cui grafico “si accosti” il più possibile ai punti del diagramma a dispersione; questo procedimento viene detto interpolazione (o perequazione) fra punti noti, o interpolazione statistica.
Metodo dei minimi quadrati
La condizione di accostamento data dal metodo dei minimi quadrati è: determinare la funzione interpolante in modo che sia minima la somma dei quadrati delle differenze fra i valori osservati yi ed i valori teorici f(xi), cioè
Funzione interpolante: retta
La funzione scelta è:
con a e b parametri reali.
La condizione di accostamento diventa:
Calcolando le derivate parziali prime rispetto ad a e b e annullandole si giunge ai valori dei parametri:
Funzione interpolante: esponenziale
La funzione è:
Applicando il logaritmo ai due membri si giunge a:
Ponendo:
e
Si ricava:
Da questa equazione possiamo ricavare l’equazione della retta interpolante, che verrà poi trasformata in funzione esponenziale. Utilizzando i valori trasformati, però, la condizione di minimo è valida per le funzioni trasformate e non per quelle assegnate, così l’equazione della funzione interpolante potrebbe essere approssimata; tuttavia in questo caso dato che i valori trasformati sono stati calcolati con Excel si giunge al medesimo risultato.
Calcolo della funzione esponenziale con il metodo dei minimi quadrati