Mathematica v dinamiki in stabilnosti konstrukcij

MATHEMATICA

v dinamiki in stabilnosti konstrukcij

Predgovor

Delo, ki je pred vami, ni bilo zamišljeno in kreirano kot učbenik dinamike in stabilnosti konstrukcij, saj obstaja obsežna množica kvalitetnih del (tudi v slovenščini), ki odlično služijo temu namenu. To delo prav tako ni zamišljeno kot detajlni (delni) razlagalec ukazov programa Mathematica, saj zato obstaja obsežni priročnik, ki se dobi hkrati s programom, kot tudi v program vgrajena pomoč. To delo je zamišljeno kot simbioza obeh vsebin, namreč uporabe dela širokega spektra možnosti programa pri reševanju nekaterih ravninskih problemov dinamike in stabilnosti konstrukcij. Uporaba programa Mathematica seveda ne pomeni, da odpade vso inženirsko delo, ampak zgolj, da se lahko več časa posveti kvalitetnejšemu aspektu inženirske rešitve problema, saj se matematični problemi lahko rešujejo na mnogo višjem nivoju, kot je to mogoče narediti zgolj s kalkulatorjem, hkrati pa je zanje potrebno bistveno manj napora. Koraki analize, ki so predstavljeni, niso nujno najkrajši, vendar so pisani v smislu naraščanja bralčevega znanja z že obdelanimi poglavji. Nekaterim podpoglavjem so dodane tudi naloge za samostojno delo ter pripadajoči rezultati. Delo Mathematica v dinamiki in stabilnosti konstrukcij je namenjena predvsem študentom 4. letnika konstrukcijske smeri Fakultete za gradbeništvo v Mariboru kot študijsko gradivo za izpit pri predmetu Dinamika in stabilnost konstrukcij. Zaradi izrazite praktične usmeritve dela pa smatram, da bo lahko služilo tudi inženirjem v gradbeni praksi za osvežitev in/ali nadgradnjo znanja, ki so ga pridobili ob svojem študiju na naši ustanovi, a ga iz takšnih ali drugačnih razlogov ne uporabljajo. Vaje, na katere se sklicujem v tem delu, so vaje, ki se obravnavajo pri predmetu Dinamika in stabilnost konstrukcij na Fakulteti za gradbeništvo v Mariboru in so izdane v delu z naslovom Uvod v osnove računa dinamike in stabilnosti gradbenih konstrukcij, ki ga je v tiskani obliki ter na CD-ju izdala Fakulteta za gradbeništvo, mogoče pa ga je najti tudi na spletnem naslovu: Dinamika in stabilnost konstrukcij. Tudi tiste vaje, ki se sicer nahajajo v omenjeni zbirki, vendar v tem delu niso referirane, je seveda tudi mogoče analizirati s postopki, podanimi v tem delu, kar bralcu nudi dodaten spekter možnosti za samostojno delo. Tega dela seveda ne bi bilo Stephena Wolframa in njegove ekipe, ki so ustvarili izredno močno orodje za reševanjem velike množice inženirskih problemov.

Zahvala

Tega dela najverjetneje tudi ne bi bilo brez tistih, ki so poskrbeli za dvig testosterona in ustvarjalnega andrenalina:

prof. Kviza Linga, Jacques-Yvesa C., oprode Nibblesa Tuffya ter Barba Luigija.

POGLAVJE I - Uvod

1. Osnovni koraki v Mathematici 1

1. Predstavitev programa Mathematica

2. Aktiviranje programa

3. Spoznavanje osnovnih ukazov programa Mathematica

4. Definiranje uporabniških funkcij

5. Shranjevanje datotek

2. Naprednejši koraki z Mathematico 21

1. Uporaba indeksiranih spremenljivk s podpisovanjem (subscriptom)

2. Shranjevanje slik za kasnejšo uporabo v Mathematici

3. Prenos enačb v urejevalnike besedil

4. Dostop do rezultatov

5. Manipuliranje z nizi

POGLAVJE II - Dinamika sistemov z eno prostostno stopnjo

1. Reševanje parcialne diferencialne enačbe lastnega nihanja 1

1. Direktno reševanje parcialne diferencialne enačbe lastnega nihanja za upogibni nosilec

2. Iskanje rešitve v obliki produkta dveh funkcij

2. Reševanje diferencialne enačbe nihanja 3

1. Uporaba integriranja za reševanje diferencialne enačbe nihanja

3. Reševanje diferencialne enačbe lastnega nihanja 9

1. Reševanje diferencialnih enačb s programom Mathematica

2. Reševanje diferencialne enačbe lastnega nedušenega nihanja

3. Reševanje diferencialne enačbe lastnega dušenega nihanja

4. Prikaz razlike med odzivoma nedušenega in dušenega lastnega nihanja

4. Reševanje diferencialne enačbe precnega pomika 17

1. Reševanje diferencialnih enačb s programom Mathematica

2. Analiticno iskanje lastnih frekvenc za prostoležeči nosilec

3. Analiticno iskanje lastnih nihajnih oblik za prostoležeči nosilec

5. Reševanje diferencialne enačbe pomika lastnega nihanja 41

1. Numerično iskanje lastnih frekvenc za konzolni nosilec

2. Analitično iskanje lastnih nihajnih oblik za konzolni nosilec

6. Polinomi in trigonometrične funkcije kot interpolacijske funkcije 53

1. Izbira polinomskih in trigonometričnih funkcij

2. Izracun posplošene mase, posplošene togosti in posplošene geometrijske togosti

3. Izračun lastne frekvence ter kriticne uklonske sile

7. Statična upogibnica kot interpolacijska funkcija 64

1. Izracun statične upogibnice za izbrano obtežbo

2. Izračun posplošene mase, posplošene togosti in posplošene geometrijske togosti

3. Izračun lastne frekvence ter kritične uklonske sile

8. Iskanje lastnih frekvenc z metodo končnih elementov 70

1. Izpeljava togostne in masne matrike linijskega končnega elementa za prečno nihanje

2. Modeliranje konstrukcije s končnimi elementi

3. Iskanje lastnih frekvenc

9. Iskanje lastnih frekvenc z metodo končnih elementov 82

1. Izpeljava togostne in masne matrike posebnega končnega elementa za prečno nihanje

2. Modeliranje konstrukcije s končnimi elementi

3. Iskanje lastnih frekvenc

10. Iskanje lastnih frekvenc in pripadajočih lastnih vektorjev 92

1. Združevanje lokalnih togostnih in masnih matrik v globalni matriki v zanki

2. Iskanje lastnih frekvenc in pripadajočih lastnih vektorjev

11. Iskanje lastnih frekvenc z metodo končnih elementov 110

1. Izpeljava togostne in masne matrike nestandardnega končnega elementa za prečno nihanje

2. Modeliranje konstrukcije s končnim elementom

3. Iskanje lastnih frekvenc

12. Iskanje lastnih frekvenc okvirnih konstrukcij z metodo končnih elementov 118

1. Izpeljava lokalne togostne in masne matrike končnega elementa za prečno in vzdolžno nihanje

2. Pretvorba lokalnih matrik v globalni koordinatni sistem

3. Modeliranje okvirne konstrukcije s končnimi elementi

4. Iskanje lastnih frekvenc

13. Reševanje diferencialne enačbe vsiljenega nedušenega nihanja 130

1. Reševanje diferencialne enačbe vsiljenega nedušenega nihanja

2. Iskanje odziva za posamezne faze delovanja obtežbe

3. Numerično iskanje časa in vrednosti maksimalnega odziva

14. Izračun odziva z razvojem obtežbe v Fourierovo vrsto 140

1. Analiticni izračun odziva periodično ponavljajoče se obtežbe po posameznih fazah

2. Razvoj obtežbe v Fourierovo vrsto

3. Izračun odziva zaradi obtežbe razvite v Fourierovo vrsto

15. Izračun odziva z Duhamelovim integralom 156

1. Numerični izračun Duhamelovega integrala

2. Izračun odziva zaradi obtežbe razvite v Fourierovo vrsto

3. Izračun odziva zaradi potresne obtežbe

4. Izdelava spektra odziva

POGLAVJE III - Dinamika sistemov z več prostostnimi stopnjami

1. Sestava togostne in masne matrike s polinomskimi interpolacijskimi funkcijami 1

1. Izračun polinomskih interpolacijskih funkcij

2. Izračun masne, togostne in geometrijske togostne matrike

3. Izračun lastnih frekvenc ter kritične uklonske sile

2. Odziv sistemov z več prostostnimi stopnjami 15

1. Izracun lastnih frekvenc in pripadajočih normiranih lastnih vektorjev z uporabo modulov

2. Reševanje sistema vezanih diferencialnih enačb s prevedbo v nevezano obliko – iskanje odziva

3. Odziv sistemov z več prostostnimi stopnjami 25

1. Izračun odziva konstrukcije – izdelava preproste animacije

4. Odziv dušenih sistemov 35

1. Modeliranje matrike dušenja sistema

2. Iskanje odziva dušenega sistema

3. Frekvenčna analiza odziva s Fourierovo transformacijo

4. Uporaba filtrov pri frekvencni analizi odziva

5. Odziv sistemov z več prostostnimi stopnjami 58

1. Izračun podajnostne matrike s pomočjo integriranja diagramov notranjih staticnih količin

2. Izračun masne matrike s pomočjo kinetične energije

3. Izračun in izris interpolacijskih funkcij kompleksnejše konstrukcije

4. Izračun kriticne uklonske sile

POGLAVJE IV - Stabilnost

1. Iskanje kriticne uklonske sile z reševanjem diferencialne enačbe 1

1. Izračun vrednosti kritične koncentrirane uklonske sile na vrhu konzole

2. Iskanje kriticne uklonske sile z metodo koncnih elementov 6

1.Uporaba standardnega končnega elementa za izračun kriticne uklonske sile na vrhu konzole

3. Iskanje kriticne uklonske sile z metodo koncnih elementov 10

1.Uporaba posebnega končnega elementa za izračun kriticne uklonske sile

4. Iskanje kriticne uklonske obtežbe z metodo koncnih elementov 14

1.Uporaba standardnega končnega elementa za izračun kriticne mase ali dolžine

5. Iskanje kriticne uklonske obtežbe z metodo koncnih elementov 20

1.Uporaba standardnega končnega elementa za izračun kriticne mase ali dolžine

6. Iskanje kriticne uklonske obtežbe z metodo koncnih elementov 28

1.Uporaba posebnega končnega elementa za izračun kritične mase ali dolžine

7. Iskanje kriticne uklonske obtežbe z metodo koncnih elementov 34

1.Uporaba nestandardneg končnega elementa za izračun kritične mase ali dolžine

Nekaj zanimivih povezav

WolframMathWorld

Wolfram Information Center (http://library.wolfram.com/)

Mathematica (http://www.wolfram.com/products/mathematica/index.html)

Engineering (http://library.wolfram.com/infocenter/BySubject/Engineering)