phi kumulativ produkt faktor = ϕcp(xgeo/µgeo*sd^+1 > 1)
= ϕ(σcp)^n = (0,707)^n    
= phi cumulative product factor

phi cum factor distribution deisenroth = ϕc(x/µ;σd;n) = 0,5*ϕ(x/µ;σd;n)= 0,5 * e^(-n*(ln(x/µ)/ln(σd))²) = 0,5*ϕd(x/µ;σd;n)

phi cum product factor  deisenroth = phi cum product factor ϕcp(σcp;n=1) =1/2^0,5  ≈ 0,707 - empirisch durch monte carlo simulation ermittelt

phi cum product factor (n)  = ϕcp(σcp;n) = ϕcp(σcp)^n ≈ 0,707^n

Beispiele für ϕcp(n) = ϕcp(σcp)^n = (0,707)^n = geschätztes wahrscheinlichkeitsprodukt von n stichproben für "xgeo*sd<µgeo"

ϕcp(n=1) = 0,707 = phi cum product factor  deisenroth  

ϕcp(n=2) = 0,5

ϕcp(n=3) = 0,354

ϕcp(n=4) = 0,25

ϕcp(n=5) = 0,1768

ϕcp(n=6) = 0,125

ϕcp(n=7) = 0,0884

ϕcp(n=8) = 0,0625

ϕcp(n=9) = 0,04419

ϕ(n=10) = 0,03125 ≈ 3 percent (%) ≈ 3 error per hundert opportunities

ϕcp(n=20) = 0,001 ≈ 0,1 promill ≈ 1 error per thousend opportunities

ϕcp(n=30) = 31*10-6 ≈ 31 ppm ≈ 31 error per million opportunities

ϕcp(n=40) = = 1*10-6 ≈ 1 ppm ≈ 1 error per million opportunities

ϕcp(n=50) = 2,98 E-08 ≈ 30 *10^-9 ≈ 30 ppb ≈ 30 error per billion opportunities

ϕcp(n=60) = 9,3132 E-10

ϕcp(n=70) = 2,91 E-11 ≈ 0,3 * 10^-12 ≈ 0,3  ppt ≈ 0,3 error per trillion opportunities

ϕcp(σcp) = standard phi cum product factor deisenroth = ϕcp = 1/2^0,5 ≈ 0,707 = ϕcp(σcp) 

σcp(ϕcp) = standard sigma cum product factor deisenroth = σd^(±√(-ln(0,707)) = σcp = standard sigma product factor deisenroth

σ(ϕ;σd;n) = σd^±√(-ln(ϕ)/n)  = σcp(ϕ) = σ(ϕ;n) =  σ(ϕ) = σ = x/µ = sigma factor deisenroth

ϕcp(n) = phi cum factor product deisenroth = ϕcp(n) = 0,707^n

ϕ(x/µ;n;σd) = e^(-n*(ln(x/µ)/ln(σd))²) = phi factor distribution deisenroth = phi faktor deisenroth = ϕd

σ(ϕ;n;σd) = x/µ= σd^±√(-ln(ϕ)/n) = sigma factor normal distribution deisenroth = sigma faktor normalverteilung deisenroth 

ϕc = 0,5*ϕd = cumulative probability factor = phi cum factor deisenroth = kumulierter Wahrscheinlichkeitsfaktor deisenroth

σc(ϕ) = σd^(±√(-ln(2*ϕ))= cumulative scattering factor = sigma-cum-factor = kumulierter sigma Streufaktor deisenroth

ϕcp(σcp;n=1) = standard phi cum product factor deisenroth = ϕcp = 1/2^0,5 ≈ 0,707

ϕcp(n) = ϕcpn = phi cum factor product = kumuliertes Wahrscheinlichkeitsprodukt deisenroth ≈ 0,707^n (empirisch durch monte carlo simulation ermittelt)

ϕcp(xgeo*sd<µgeo) = (0,707)n = phi-cum-product for xgeo,n*sdn< µ = kumuliertes Wahrscheinlichkeitsprodukt für xn*sdn<µ 

σcp(ϕcp;σd) = σd^(±√(-ln(ϕcp)) = sigma cum product factor deisenroth = sigma kum produkt faktor deisenroth (monte carlo simulation)

σcp(ϕcp;σd) = σd^(±√(-ln(0,707))  = sigma cum product factor deisenroth = sigma kum produkt faktor deisenroth (monte carlo simulation)

xgeo*sd±1  ≈ µgeo*σn(n) = estimated scattering factor limit deisenroth = geschätzter intervall faktor grenze deisenroth 

σn(ϕ;σd±1;n) = σd^(±√(-ln(ϕ)/n)) = true sigma factor confidence interval deisenroth = wahres sigma faktor intervall deisenroth

σn(sdn;xn ) ≈xgeo*sdn±1 =  estimated sigma-factor confidence interval deisenroth = geschätzter sigma faktor intervall deisenroth

standard scattering probability limit factor normal distribution function sigma zeta phi deisenroth = σ(ϕ;n) = σd^±ζ(ϕ;n) = σd^(±√(-ln(ϕ)/n)) = x(ϕ;n)/µ

σ = x/µ = sigma factor deisenroth

sigma factor = x/µ = σ(x/µ;ϕ;n;σd) = sigma factor deisenroth = σd^±√(-ln(ϕ)/n) 

zeta = ζ(ϕ;n) = zeta deisenroth = ±√(-ln(ϕ)/n) = ζd(ϕ;n) 

phi = ϕ(x/µ;n;σd) = phi factor deisenroth = e^(-n*(ln(x/µ)/ln(σd))²) = ϕd(x/µ;n;σd)

σd = e^(2*ln(µari/µgeo))^0,5
= wahrer standardstreufaktor sigma deisenroth
= wahrer standardfaktor  deisenroth
= true standard sigma factor deisenroth
= true standard sigma factor deisenroth

σcp = e^(2*ln(xari/xgeo))^0,5
= geschätzter standardstreufaktor sigma deisenroth
= estimated standard scattering factor sigma deisenroth
= estimated standard sigma factor  deisenroth

µari = wahrer arithmetischer mittelwert = true arithmetic mean
µgeo = wahrer geometrischer mittelwert = true geometric meanx

xari = geschätzter arithmetischer mittelwert = estimated arithmetic mean
xgeo = geschätzter geometrischer mittelwert = estimated geometric mean

x(zeta,sigma,µ) deisenroth

x(ζ;σ;µ) = µ∗σ^±ζ

x(zeta,sigma,phi;µ) deisenroth

x(ζ;σ;ϕ;µ) = µ∗σ^±ζ(ϕ)

x(zeta,sigma,µ,n) deisenroth

x(ζ;σ;µ;n) = µ∗σ^(±ζ/√n)

wahrscheinlichkeitsexponent zeta deisenroth = ζ

ζ = ±√(-ln(ϕ)) = ln(x/µ)/ln(σ) 

wahrscheinlichkeitsfaktor phi(n) deisenroth = ϕ(n)

ϕ(n) = ϕ^(-1/n) = ϕ^n 

streufaktor = x/µ = σ(x/µ) = σ^±√(-ln(ϕ)/n) = streufaktor x/µ = streufaktor(x/µ) = µ streufaktor 

standardfaktor sigma deisenroth σ and  s (standardfaktor sigma deisenroth)

σ = e^(2*ln(µari/µgeo))^0,5 = true standard factor sigma (wahrer standardfaktor sigma deisenroth) = σd

s = e^(2*ln(xari/xgeo))^0,5 = estimated standard factor sigma (geschätzter standardfaktor sigma deisenroth) = sd

standardstreufaktor sigma deisenroth  σ = σd

(= standardfaktor = grenzfaktor = standardgrenzfaktor = normalfaktor = standardnormalfaktor = standardnormalgrenzfaktor)

σ = σd = e^(2*ln(µari/µgeo))^0,5 = wahrer standardstreufaktor sigma deisenroth

true arithmetic mean (µari) and true geometric mean (µgeo or µ) 

µari = true arithmetic mean (wahrer arithmetischer mittelwert)

µgeo = true geometric mean (wahrer geometrischer mittelwert)

µari = µgeo*e^(0,5*ln(σd)^2)

µgeo = µari/e^(0,5*ln(σd)^2) ≠ µari for phi factor and phi density normal distribution

estimated arithmetic mean (xari) and estimated geometric mean (xgeo) 

xari = estimated arithmetic mean (geschätzter arithmetischer mittelwert)

xgeo = estimeted geometric mean (geschätzter geometrischer mittelwert)

xgeo(xi;n) = e^(1/n*((ln(x1)+ln(x2)+.....+ln(xn)))

xgeo(sd;xari) = xari/e^(0,5*ln(sd)^2)

xari(xi;n) = 1/n*(x1+x2+ ....+xn)

xari(sd;xgeo) = xgeo*e^(0,5*ln(sd)^2)

true standard scattering probability limit factor sigma deisenroth σd  and estimated standard scattering probability limit factor sigma deisenroth sd

σd = true standard scattering probability limit factor sigma deisenroth (wahrer standardstreufaktor deisenroth) 

sd = estimated standard scattering probability limit factor sigma deisenroth (geschätzter standardstreufaktor deisenroth)

σd = e^(2*ln(µari/µgeo))^0,5 = wahrer standardstreufaktor sigma deisenroth = σ

sd = e(2*ln(xari/xgeo))^0,5 = geschätzter standardstreufaktor sigma deisenroth = s

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